Інтервальні оцінки для генеральних середньої та частки

Інтервальною оцінкою ( або надійним, або довірчим інтервалом) параметра генеральної сукупності називається такий інтервал , який із заданою надійністю ( або надійною, або довірчою імовірністю) γ накриває параметр , що оцінюється. При цьому , , де – точкова оцінка (або вибіркове значення) параметра , величина δ знаходиться за нижченаведеними формулами і визначає точність інтервальної оцінки: чим менше δ, тим вища точність.

У статистиці величина δ називається граничною помилкою і обчислюється за формулою:

δ =t* μ,

де величина t називається довірчим числом (або коефіцієнтом довіри), а μ – середньою (або стандартною) помилкою.

Довірче число t=t_γ (n) знаходиться за таблицями критичних точок розподілу Стьюдента для двосторонньої критичної області в залежності від надійності γ і обсягу вибірки п (див. додаток 3, число степенів вільності k=n– 1, рівень значущості α = 1 –γ). Так, наприклад, t _{0, 95}(10)=2, 26.

Якщо п > 30, то прийнято вважати, що розподіл Стьюдента з достатньою для практичних потреб точністю співпадає з нормальним розподілом і тоді число t=t_γ можна знаходити за таблицями значень інтегральної функції Лапласа Ф(х) (див. додаток 5) із умови: Ф(t_γ ) =γ / 2. Так, наприклад, t _{0, 95}=1, 96. Крім того, число t_γ можна знаходити за таблицею додатку 3, поклавши .

Середні помилки μ для інтервальних оцінок генеральної середньої та генеральної частки р знаходяться за формулами, наведеними в таблиці 2.1:

Таблиця 2.1

Середні помилки інтервальних оцінок параметрів та р

Схема відбору	для (п > 30)	для ()	для р
Повторна
Безповторна

Позначення: – вибіркове середнє квадратичне відхилення, яке обчислюється за формулою (1.7), наведеною в л. р. № 1 для відповідного варіаційного ряду: з. в. р., д. в. р. чи і. в. р.; – виправлене середнє квадратичне відхилення; – вибіркова частка варіант, що задовольняють задану умову; l – число варіант, що задовольняють задану умову; N – обсяг генеральної сукупності.

Точковими оцінками генеральних середньої та частки р є відповідно вибіркові середня та частка w; при цьому обчислюється за формулами (1.1) – (1.3), наведеними в л. р. № 1 для відповідного варіаційного ряду: з. в. р., д. в. р. чи і. в. р.

Таким чином, надійні інтервали для генеральних середньої та частки мають такий вид:

– для повторної вибірки:

, якщо п > 30; (2.1)

, якщо п ≤ 30; (2.2)

. (2.3)

– для безповторної вибірки:

, якщо п > 30; (2.4)

, якщо п ≤ 30; (2.5)

. (2.6)

Очевидно, якщо обсяг вибірки п набагато менший за обсяг генеральної сукупності N (n< < N), то n/N ≈ 0 і формули (2.1) – (2.3) майже збігаються з формулами (2.4) – (2.6). Тому у статистичній практиці прийнято вважати, що якщо n/N < 0, 05, то надійні інтервали можна знаходити за більш простими формулами (2.1) – (2.3) незалежно від схеми відбору.

Слід зауважити, що формули для μ _х та μ _w виведено в припущенні відповідно нормального та біноміального розподілів генеральної сукупності, проте на практиці вони використовуються незалежно від виду розподілу останньої.