Дифференцирование сложной ФНП. Производные неявных функций.

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Функции нескольких переменных. Предел последовательности. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность ФНП.

Если каждой паре (x, y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

В математике пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности стремятся или приближаются с ростом номера.

Для функции нескольких переменных можно определить понятие предела только по одной из переменных. Из этого возникает понятие повторного предела. В зависимости от последовательности взятия пределов будут различные повторные пределы.

Число А называется пределом функции F(M), где M(x1, x2, x3,..., xn)-точка n-мерного пространства, при стремлении точки М к точке М0(x10, x20,..., xn0) любым образом, если для всякого сколь угодно малого e> 0 существует такое число d> 0 (d-эпсилон), что из условия |MM0|< d, где |MM0|-расстояние между точками М и М0, следует |F(x1, x2,..xn)-A|< d.

Частное и полное приращения функции нескольких переменных. Частные производные и частные дифференциалы.

Пусть задана функция z = f(х, у). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять постоянное значение. Дадим переменной х приращение ∆ х, сохраняя значение переменной у неизменным. Тогда функция z получит приращение, которое назовем частным приращением z по х и обозначим

Наконец, если аргументу х дать приращение ∆ х, а аргументу у – приращение ∆ у, то получим полное приращение функции z:

Частная производная-производная по одной из переменных в функции нескольких переменных, только в ней все остальные переменные принимаются за константы, а потом находится производная. С дифференциалом то же самое, но только находится интеграл.

Дифференцируемость функции. Полный дифференциал.

Дифференци́ руемая (в точке) фу́ нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества.

Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения переменных, называется полным дифференциалом. dZ или df(x, y, z...)

Дифференцирование сложной ФНП. Производные неявных функций.

Теорема.Пусть u = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t) и у = у(t) определены в области

, причём, когда

, то х и у принадлежат области D. Пусть функция u дифференцируема в точке M0(x0, y0, z0), а функции х(t) и у(t) дифференцируемы в соответствующей точке t0, то сложная функция u = f [x(t), y(t)]=F (t) дифференцируема в точке t0 и имеет место равенство:

Доказательство.Так как u дифференцируема по условию в точке (x0, y0), то её полное приращение представляется в виде

Замечание 1.Если u = u(x, y) и x = x, y = y(x), то полная производная функции u по переменной х

Последнее равенство можно использовать для доказательства правила дифференцирования функции одной переменной, заданной неявно в виде F(x, y) = 0, где y = y(x) (см. тему № 3 и пример 14).