Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Пример 10. Матрицыи -единичные матрицы.






     

    Теорема 2. Если , где то для любой матрицы

    . (14)

    Доказательство.

    Пусть матрица , тогда, согласно определению 7, матрица , где

    , так как

    Пусть матрица , тогда, согласно определению 7, матрица , где

    , так как

     

    Из полученных результатов следует, что и , следовательно, . Утверждение доказано.

     

    Следствие 1. Если матрица где - некоторое число, т.е. B - cкалярная матрица порядка n, то для любой матрицы

     

    . (15)

     

    Доказательство. Нетрудно заметить, что . Следовательно,

     

    ; .

     

    Что и требовалось доказать.

     

    Определение 13. Операция перехода от матрицы к матрице , где , , т.е. когда столбцы матрицы А превращаются в соответствующие строки матрицы В, называется транспонированием матрицы А. Матрица В в этом случае называется транспонированной матрицей А.

    Обозначение:

     

    Пример 11. , .

     

    Замечание. Нетрудно заметить, что при транспонировании матриц элементы, стоящие на главной диагонали, не изменяю своего положения.

     

     

    Теорема 3 (свойства операции транспонирования)

    1) , где - единичная матрица порядка n.

    2) , для любых матриц .

    3) , где и (16)

    4) , где и . (17)

    5) , для любых матриц А и любых постоянных .

    Доказательство. Справедливость свойств 1 и 2 следует из определения 13. Следовательно, доказать требуется лишь свойства 3 и 4.

    3) Пусть .

    Так как , , то для матрицы , где .

    Следовательно, , и, согласно определению 13, , где

     

    , (18)

     

    Пусть . Так как , , то матрица - матрица вида , где , а матрица - матрица вида , где ,

    Следовательно, и , где

     

    , (19)

     

    Из формул (18) и (19) следует, что , Это означает равенство матриц С и D, а значит, и справедливость формулы (16). Утверждение 3 доказано.

    4) Применяем ту же методику: доказываем, что матрицы в левой и правой части равенства (17) состоят из одинаковых элементов.

    , , тогда , где , элементы которой определяются по формуле (20):

     

    , (20)

     

    Пусть , тогда и, согласно определению 13, , где , В этом случае, из (20) следует, что элементы матрицы определяются по формулам (21):

     

    , (21)

     

    Так как , , то матрица - матрица вида , где , а матрица - матрица вида , где ,

    Следовательно, матрица , , элементы которой определяются по правилу:

     

    , (22)

    Используя представления элементов матриц L и S с помощью элементов матриц А и В, получаем:

     

    , (23)

     

    Из равенств (21) и (23) следует, что элементы матриц D и К, стоящие на одинаковых местах, совпадают, значит, , что означает, что . Утверждение доказано.

    5) Данное свойство докажите самостоятельно.

     

     

    Определение 14. Элементарными преобразованиями матриц называются следующие операции над матрицами:

    1) перестановка двух строк матрицы местами;

    2) умножение всех элементов некоторой строки матрицы на одно и то же число;

    3) прибавление к элементам некоторой строки матрицы соответствующих элементов другой строки этой же матрицы, умноженных на число;

    4) те же операции над столбцами.

     

     

    Определение 15. Матрицы А и В, получающиеся одна из другой при помощи элементарных преобразований, называются эквивалентными.

    Обозначение: .

     

    Смысл этой эквивалентности станет Вам понятен позднее, в частности, при исследовании систем линейных уравнений.

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.