Пример № 9. (для задач 81-90).

Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

Решение. Общее решение данного уравнения равно сумме о б щ е г о решения о д н о р о д н о г о уравнения и какого-либо ч а с т н о г о решения данного уравнения, то есть + .

Для нахождения составим х а р а к т е р и с т и ч е с к о е уравнение , имеющее комплексные корни и .В этом случае общее решение однородного уравнения ищем в виде

+ (4)

где - комплексные корни характеристического уравнения. Подставив в (4) имеем:

2x + 2x.

Для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функция cos sin x) и числа не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение (А cos sin

Применяя эту теорему при имеем:

cos 2x + sin 2x).

Дважды дифференцируя последнее равенство, находим :

cos 2x +(-4 sin 2x.

Подставив в данное уравнение и , получим:

4B cos 2x-4A sin2x=4 sin 2x-8 cos 2x.

Откуда A=-1, B=-2.

Следовательно, 2x+2sin 2x) и

Найдем :

Используя начальные условия, получим систему