Пример №3. (для задач 21-30).

Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение. Исследование предлагается провести в несколько этапов, которые соответствующим образом озаглавим.

1. Нахождение области определения.

В нашем случае для существования значений функции, необходимо чтобы x≠ 0, поэтому областью определения будет Д(y)=(-∞; 0)U(0; ∞).

1. Определение четности, нечетности функции.

Проверяем два условия: f(-x)=f(x) и f(-x)=-f(x). Если выполняется первое условие, то функция четна; если второе – нечетна; если не выполнится ни одно из условий, тогда функция будет особого вида(ни четной, ни нечетной). Исходная функция является нечетной, так как выполняется условие f(-x)= = ─ = ─ f(x).

3. Исследование на непрерывность, построение асимптот.

Начинаем с области определения функции: функция определена (следовательно, непрерывна) везде, кроме точки х=0. Исследуем характер разрыва в точке х=0.

.

Таким образом, в точке х=0 функция терпит разрыв II рода с бесконечным скачком, а прямая х=0 (т.е. ось OY) является вертикальной асимптотой графика функции.

Найдем наклонные (в частном случае горизонтальные) асимптоты. Известно, что уравнение наклонных асимптот имеет вид , а после нахождения углового коэффициента находим В нашем случае получаем:

Следовательно, - наклонная асимптота.

4. Иссследование с помощью первой производной (возрастание, убывание, экстремум).

Находим производную функции по формуле производной дроби:

Итак, Находим критические точки, т.е. точки, «подозрительные» на экстремум. Имеются два источника появления критических точек I рода: точки, в которых производная равна нулю, или не существует.

Итак, получили три критические точки I рода, которыми числовая прямая разбивается на интервалы, в каждом из которых производная имеет определенный знак. Удобно изобразить исследование с помощью первой производной на числовой прямой следующим образом:

Берем в каждом интервале любую точку и выясняем знак производной (ставим соответственно + или -).

На интервалах производная , следовательно, функция возрастает (стрелки направлены вверх); соответственно, на интервалах (-1, 0) и (0, 1) , следовательно функция убывает.

Этот схематический рисунок удобен тем, что стрелки как бы намечают траекторию графика функции (см. график в конце примера). Кроме этого, он наглядно иллюстрирует достаточный признак экстремума функции в точке: если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то в этой точке экстремум есть, причем, если знак меняется с «+» на «-», то имеется максимум, если с «-» на «+», то минимум. Глядя на рисунок, это легко понять: при х=-1 функция имеет максимум, при х=1 – минимум. Найдем Итак, точки А₁(-1, -2) и А₂(1, 2) – точки максимума и минимума графика функции.

Замечание: Разумеется, точка х=0 никак не может быть точкой экстремума, поскольку в этой точке функция терпит разрыв. Однако, для нахождения интервалов возрастания и убывания она необходима и потому её тоже считаем критической. То же замечание относится и к исследованию с помощью .

3. Исследование функции с помощью второй производной (выпуклость, вогнутость, перегиб).

Исследование функции на выпуклость, вогнутость и перегиб с помощью второй производной проводится по той же схеме, по которой с помощью первой производной проводится исследование функции на убывание, возрастание и экстремум.

Имеются два источника критических точек II рода, «подозрительных» на перегиб: не существует. В нашем примере не существует при х=0. Вновь строим аналогичный чертеж:

На интервале , следовательно, функция - выпуклая; на интервале , следовательно функция вогнутая. Несмотря на то, что в точке х=0 выпуклость сменяется вогнутостью, эта точка не является точкой перегиба, поскольку в точке х=0 функция разрывна.

Теперь строим график функции на основании проведенного исследования.