Пример № 12. (для задач 111-120).

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0, 8. Составить ряд и функцию распределения числа попаданий в цель при четырех выстрелах. Вычислить математическое ожидание и дисперсию. Найти вероятность того, что при четырех выстрелах будет не менее двух попаданий. Показать графически.

Решение. Во-первых, обозначим случайную величину (число попаданий в цель при четырех выстрелах). Очевидно, СВ может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3, 4. При вычислении соответствующих вероятностей ясно, что имеет место повторение опыта (один и тот же стрелок производит выстрел 4 раза), следовательно, должна применяться формула Бернулли , где - вероятность того, что в результате опытов событие (в нашей задаче – попадание в цель) появится ровно m раз, р – вероятность события в одном опыте (в нашей задаче р=0, 8), q – вероятность противоположного события;

Проводим вычисления

Составим ряд распределения случайной величины (дискретной) :

=
	0, 0016	0, 0256	0, 1536	0, 4096	0, 4096

Проверяем правильность вычисления:

.

Функцией распределения случайной величины называется вероятность т.е. вероятность того, что СВ примет значение меньше x:

Для дискретных СВ функция распределения является дискретной (т.е. разрывной), разрывы функция терпит в точках . Действительно, проводим вычисления для нашей задачи: если то событие невозможное Ǿ и, следовательно, = Ǿ)=0.

Далее, пусть 0< x< 1. Тогда Аналогично: пусть , тогда

Пусть тогда

Пусть тогда и, наконец, пусть тогда

Построим график функции :

Стрелки на графике означают, что функция в точках разрыва указанного стрелкой значения не достигает. Например, (но не 0, 4904), а 0, 4904=

Вычислим числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсию ):

=

Дисперсию можно вычислить по определению или по формуле По последней формуле имеем =

Среднее квадратичное отклонение

Итак, мы имеем два вида закона распределения дискретной случайной величины (ДСВ) – ряд распределения и функцию распределения пользуясь этими законами, найдем вероятность

Во-первых, эту вероятность можно расписать следующим образом: и, глядя на ряд распределения, получаем, что Этот же результат можно получить, используя функцию распределения, по формулам:

Теперь, выбирая нужную формулу и глядя на функцию распределения, получим: