Пример №4. (для задач 31-40).

Резервуар, имеющий форму открытого сверху прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, нужно вылудить внутри оловом. Каковы должны быть размеры резервуара при его ёмкости 108 л. Воды, чтобы затраты на его лужение были наименьшими?

Решение. Затраты на покрытие резервуара оловом будут наименьшими, если при данной вместимости его поверхность будет минимальной.

Обозначим через - сторону основания, - высоту резервуара. Тогда площадь S его поверхности равна , а объём V = Отсюда b= и S= +

Полученное соотношение устанавливает зависимость между площадью поверхности резервуара S (функция) и стороной основания а (аргумент). Исследуем функцию S, на экстремум. Найдём первую производную S, приравняем её к нулю и решим полученное уравнение.

S=2a- = =0

Отсюда a=6. при a> 6, при a< 6. Следовательно, при a=6 функция S имеет минимум. Если a=6, то b=3.Таким образом, затраты на лужение резервуара ёмкостью 108 л будут наименьшим, если он имеет размеры 6дм 6 дм 3дм.