Статистические детерминированные модели с дефицитом

В отличие от рассмотренных ранее статистических детерминированных моделей без дефицита в данном классе в данном классе дефицит допускается, и в отдельных случаях планирование дефицита позволяет снизить затраты. Рассмотрим модель оптимальной партии поставки, когда неудовлетворенные требования ставятся на учет.

При поступлении очередной партии вначале удовлетворяется задолженный спрос, а затем пополняется запас. Изменение запаса в такой системе показано на рис. 6.3.6.

	t

Рис. 6.3.6. Динамика уровня запаса в модели с дефицитом при постановке на учет неудовлетворенных требований.

Здесь y – максимальная величина задолженного спроса; – максимальная величина наличного запаса; t₁ – время существования наличного запаса; t₂ – время дефицита. Обозначим через – убытки, связанные с дефицитом единицы запаса в единицу времени. Тогда издержки работы системы в единицу времени:

.

Оптимальные параметры системы:

, ,

, , ,

, .

Полезно иметь в виду, что .

Точка заказа определяется по формуле:

.

Если точка заказа равна отрицательной величине, то размещение заказа должно производиться при поставленных на учет требованиях.

Пример 6.3.5. Одним из наиболее популярных товаров магазина «Техника в быту» является водонагреватель. Спрос на этот товар установился и составляет 2600 единиц в год. Закупка водонагревателя у производителя обходится в 140 ден.ед. за один водонагреватель. Издержки хранения составляют 10% среднегодовой стоимости запасов. Стоимость оформления заказа — 50 ден.ед. Поступило предложение уменьшить запасы водонагревателей. Предполагается, что невыполненные заказы будут удовлетворены из новых поставок. Потери, связанные с утратой доверия покупателя, оцениваются в 20 ден.ед за нехватку одного водонагревателя в течение года.

Необходимо определить оптимальную величину партии водонагревателей и издержки, связанные с заказом и хранением товара при условии, что дефицит допустим. Найти величину экономии, которая достигается при введении системы планирования дефицита.

Решение. Оптимальная партия водонагревателей в условиях планирования дефицита равна:

.

Период возобновления заказа:

.

Минимальные затраты:

.

Если дефицит недопустим, то величина партии: , затраты: .

Таким образом, если универмаг будет использовать модель планирования дефицита, экономия составит

ден. ед.

Снижение затрат достигается за счет уменьшения затрат на хранение товара.

Модель с потерей неудовлетворенных требований. Пусть неудовлетворенные требования теряются. Изменения запаса в такой системе показаны на рис. 6.3.7.

Рис. 6.3.7. Динамика уровня запаса в модели с дефицитом в случае потери неудовлетворительных требований.

Здесь t₁ – время существования наличного запаса, t₂ – время существования дефицита (запас равен 0, требования не удовлетворяются и не ставятся на учет). Из-за дефицита система несет убытки. В простейшем случае издержки дефицита считают пропорциональными средней величине потерянных требований и времени t₂. Издержки одного цикла t составят

.

Издержки работы системы в единицу времени достигнут

.

Откуда

; ;

.

Отношение времени содержания запаса ко времени дефицита

,

то есть время существования наличного запаса так относится ко времени дефицита, как удельные издержки дефицита – к удельным издержкам содержания.

Пример 6.3. 6. Годовая потребность машиностроительного завода в мел­косортовой стали (пруток диаметром 12 мм) составляет 300 т. В соответ­ствии с техническими требованиями в случае необходимости пруток ди­аметром 12мм может быть заменен прутком диаметром 14мм, цена которого за тонну на 20 ден. ед. больше. Условно-постоянные транспортно-заготовительные расходы на один заказ равны 21 ден. ед., годовые издержки по содержанию 1т в – 14 ден. ед. Определить оптимальный размер партии.

Решение. Поскольку во время отсутствия необходимого вида стали для производства продукции используется другой, более дорогой, то в задаче идет речь о системе с потерей неудовлетворенных требований.

Величина партии стали

Эта партия расходуется за время

.

Длина цикла .

В течение цикла более дорогой вид стали используется для изготовления продукции . Годовые затраты

Если бы дефицит не допускался, то величина партии была бы больше и составляла и затраты меньше В случае потери неудовлетворенных требований дефицит ведет к увеличению затрат.

Однопериодная модель управления запасами при случайном спросе Планирование осуществляется на конечном интервале времени, в начале которого производится пополнение запаса. На практике такие задачи возникают в торговле быстро выходящими из моды и сезонными товарами. Интерес для промышленных предприятий представляет задача закупки запасных частей для специального оборудования. Вместе с основным оборудованием запчасти могут быть поставлены по низкой цене, а позже по гораздо более высокой из-за необходимости повторного запуска производства.

Пусть спрос ν дискретная случайная величина, которая задается с помощью таблицы 6.4.1.

Таблица 6.4.1

Очевидно, что , а вероятность того, что спрос за рассматриваемый интервал времени не превысит уровня q

.

Введем обозначения:

α — покупная цена единицы продукции;

d — потери, связанные с нехваткой единицы продукции;

s – затраты на содержание единицы продукции;

β (β < α) – цена реализации неиспользованной продукции.

Будем считать оптимальной ту величину заказа, при которой математическое ожидание издержек функционирования системы минимально. При отклонении от оптимальной партии q^* издержки будут увеличиваться

Запишем функции издержек

,

.

Их разность

. (6.3.3)

Так как , подставляя в (5.3), получим

.

Аналогично из второго неравенства получим:

.

Итак, условие нахождения оптимальной партии сезонного запаса записывается следующим образом

или

.

Пример 6.3.7. Стоимость одной запчасти при изготовлении оборудования составляет 400 ден.ед. В случае ее нехватки предприятие несет потери 600 ден.ед. Неиспользованные запчасти в конце срока эксплуатации реализуются по 200 ден.ед. Издержки содержания пропорциональны остатку и составляют 25% от первоначальной стоимости. Данные о потребности в запчастях представлены в таблице.

Таблица 5.2

ν	р(ν)		р(ν ≤ q)
0-10	0, 12		0, 12
10-20	0, 18		0, 30
20-30	0, 25		0, 55
30-40	0, 20		0, 75
40-50	0, 15		0, 90
50-60	0, 10		1, 00

Определить количество запчастей к оборудованию и среднее число неиспользованных запчастей.

Решение. Находим . Следовательно, оптимальный уровень запаса должен удовлетворять условию .

В последнем столбце таблицы представлена накопленная вероятность, следовательно, следует заказать к оборудованию запчастей. Среднее число неиспользованных деталей .

Издержки, связанные с приобретением, хранением и дефицитом составляют

(ден.ед.)

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Что такое организация поставок.

2. Какие затраты относят к затратам на организацию заказа и к затратам на хранение запасов.

3. Что такое потери от дефицита.

4. Выведите самостоятельно формулу Уилсона.

5. Дайте определение точки заказа.

6. Что такое начальный запас, фиктивный уровень текущего запаса.

7. Каков алгоритм определения оптимальной партии при многоуровневой системе оптовых скидок.

8. Что такое внутрипроизводственный запас.

9. Каковы особенности модели с конечной интенсивностью поступления запаса.

10. Почему максимальный уровень внутрипроизводственного запаса меньше величины партии.

11. Каковы виды моделей планирования дефицита.

12.За счет какого вида затрат происходит снижение общих затрат в случае учета неудовлетворенных требований.

13.Что такое задолженный спрос.

14. Может ли точка заказа в моделях с учетом неудовлетворенных

требований быть отрицательной величиной.

ТЕСТЫ

1. Критерием оптимальности в моделях управления запасами является:

а) максимальная прибыль;

б) минимальные затраты;

в) максимальный доход.

2. Циклом называется:

а) интервал времени между поставками;

б) интервал времени между запуском партий продукции в производство;

в) время выпуска партии;

г) время существования наличного запаса.

3. В моделях управления запасами издержки хранения запасов:

а) зависят от величины запасов;

б) являются фиксированными;

в) представляют собой издержки физического присутствия материальных ценностей на складе.

4. Затраты функционирования системы в неоптимальном режиме определяются по формуле:

а) ;

б) ;

в) .

5. В какой момент времени уровень текущего и уровень фиктивного запаса совпадают:

а) в момент подачи заказа;

б) в момент поступления заказа;

в) в момент полного расхода запаса.

6. Точкой возобновления заказа называется:

а)точка на графике динамики, соответствующая наибольшему уровню фиктивного текущего запаса;

б) точка, соответствующая наибольшему задолженному спросу;

в) уровень запаса, при котором нужно заказывать новую партию.

7. При каких условиях затраты на управление запасами меньше:

а) если дефицит не допускается;

б) если дефицит допускается, и поступившие требования берутся на учет;

в) если дефицит допускается, и поступившие требования теряются.

8. При каких условиях величина оптимальной партии меньше:

а) в случае одновременной доставки партии;

б) в случае конечной интенсивности поставки;

в) в случае планирования дефицита, одновременной поставки партии и постановки на учет поступивших требований.

9. Какой из показателей не учитывается в однопериодной модели при случайном спросе:

а) покупная цена единицы продукции;

б) цена реализации неиспользованной продукции;

в) потери, связанные с нехваткой единицы продукции;

г) затраты на организацию поставки.

ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача 1. Руководство магазина " Пес и кот" заказывает один раз в месяц сухой корм для кошек в пакетах весом 12 кг. Спрос в течение месяца составляет 5 пакетов. Стоимость одного пакета — 96 ден. ед. Издержки хранения составляют 15% стоимости запасов в месяц. Время доставки заказа — 12 дней. Стоимость организации доставки партии — 71 ден. ед.