Определение оптимальных параметров систем массового обслуживания

Оптимальные параметры систем массового обслуживания обуславливаются выбранным критерием эффективности. В качестве критерия эффективности может быть принят как любой из параметров, характеризующих поведение системы, так и критерий, характеризующий экономическую эффективность системы в целом. В зависимости от поставленной задачи показателями эффективности могут быть: количество каналов обслуживания, дисциплина очереди, приоритет в обслуживании заявок и т.д. Часто применяется стоимостной критерий, отражающий величину издержек, связанных с функционированием системы в единицу времени. Так для систем с ограниченным числом мест для ожидания и параллельными обслуживающими устройствами функция издержек запишется следующим образом

F_сист = С_пр × N_пр + С_экс × N_з + С_ож × L_ож + С_отк × l× Р_отк ,

где С_пр -издержки, связанные с простоем одного обслуживающего устройства в единицу времени: С_экс -издержки, связанные с эксплуатацией одного обслуживающего устройства в единицу времени; С_ож -издержки связанные с ожиданием одного требования в очереди в единицу времени; С_отк -издержки, связанные с отказом в обслуживании одному требованию.

Соответственно запишутся функции издержек для систем с ожиданием

F_cист = С_ож × L_ож + C_пр × N_пр + C_экс × N_з,

и систем с отказами

F_cист = С_пр × N_пр + C_экс × N_з + C_отк × l × P_отк.

Естественно стремление, чтобы функции издержек были минимальны. Изменяя условия функционирования системы, в частности, изменяя число каналов, можно изменять функцию издержек. Часто при этом мы должны соблюдать некоторые требования относительно качества функционирования системы.

Рассмотрим некоторые экономические ситуации.

Пример 6.2.5. Торговая фирма планирует принимать заказы клиентов на приобретение товаров по телефону, для чего необходимо установить соответствующую мини-АТС с несколькими телефонными аппаратами. Если заказ поступает, когда все линии заняты, то клиент получает отказ. Предполагаемая интенсивность входящего потока требований составляет 2, 5 заказа/мин. Длительность же оформления заказа в среднем будет равна 0, 8 мин. Определить, какое минимальное количество каналов обслуживания необходимо, чтобы обслуживать не менее 90 % поступающих заказов.

Решение. Рассматриваемая система является системой массового обслуживания с неизвестным числом обслуживающих каналов и отказами, для которой l = 2.5, m=0, , , q ³ 0.9.

Интенсивность нагрузки r=l/m=2.5/1.25=2. Так как q ³ 0.9, то P_отк < 0.1.

Для определения n, обеспечивающего P_отк < 0.1, будем последовательно придавать ему значения 1, 2, … и вычислять P_отк до тех пор, пока ни будет выполнено данное условие.

Пусть n=1.

Вероятность того, что система свободна .

Вероятность того, что заявка, поступившая в систему, получит отказ: .

Так как P_отк = 0.667 > 0.1, то значит одного канала для удовлетворения заданного уровня обслуживания недостаточно. Увеличим число каналов и проведем аналогичные расчеты.

n = 2, P₀ =0.2, P_отк = 0.4.

n = 3, P₀ =0.16, P_отк = 0.211.

n = 4, P₀ =0.143, P_отк = 0.095.

Вывод: из представленных расчетов следует, что необходимо установить мини-АТС на четыре канала, тогда доля обслуженных заявок от числа поступивших составит 1 — 0.095 = 0.905 или 90.5%, что соответствует заданному уровню обслуживания.

Пример 6.2.6. На предприятии планируется открытие мастерской по ремонту малой механизации. Поток неисправных механизмов, поступающих в мастерскую, предположительно составит 4 механизма в сутки. Среднее время ремонта одного механизма равно 0.5 суток. Другой мастерской по ремонту нет, поэтому очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно. Определить оптимальное количество узлов обслуживания, если издержки, связанные с эксплуатацией одного обслуживающего узла, составляют 12.5 ден. ед. в сутки, издержки, связанные с простоем — 8 ден. ед. в сутки, а издержки ожидания механизма в очереди — 30 ден. ед. в сутки. Для найденного количества узлов обслуживания провести анализ работы мастерской.

Решение. Рассматриваемая мастерская представляет собой систему массового обслуживания с ожиданием без ограничений на длину очереди и неизвестным числом обслуживающих устройств. При этом интенсивность входящего потока l=4 мех./сутки, среднее время обслуживания одной заявки суток и, следовательно, интенсивность потока обслуживания m= =2 мех./сутки.

Интенсивность нагрузки r=l/m=2. Чтобы данная система справлялась с процессом обслуживания всех поступающих механизмов, должно выполняться условие стационарности: r/n < 1, т.е. 2/n < 1. Откуда следует, что число каналов обслуживания должно быть не меньше трех, т. е. n ³ 3.

Издержки, связанные с функционированием системы в единицу времени составят F_cист = С_ож × L_ож + C_пр × N_пр + C_экс × N_з. По условию: C_экс = 12.5, C_пр = 8, С_ож = 30, т.е.

F_cист = 30 × L_ож + 8 × N_пр + 12.5 × N_з.

Для определения значения n, минимизирующего издержки F_cист, будем последовательно вычислять величину издержек F_cист, придавая n значения, равные 3, 4, … до тех пор, пока значение F_cист не начнет возрастать.

Пусть n = 3.

Находим вероятность того, что система свободна:

Среднее число занятых каналов: .

Среднее число простаивающих каналов: = 3 — 2 = 1.

Среднее число заявок ожидающих в очереди:

.

Издержки, связанные с функционированием системы в единицу времени:

F_cист = 30 × 0.839 + 8 × 1 + 12.5 × 2 = 58.17.

Далее:

n = 4, P₀ =0.13, , 4 — 2 = 2, 0.173, F_cист = 46.19.

n = 5, P₀ =0.134, , 5 — 2 = 3, 0.04, F_cист = 50.2.

Вывод: с ростом n начинают расти затраты, связанные с простаиванием каналов обслуживания, и оптимальным вариантом является мастерская с четырьмя узлами обслуживания. При этом величина издержек, связанных с функционированием системы в еденицу времени, будет минимальной и составит 46.19 ден. ед. в сутки.

Проведем анализ работы полученной системы.

Коэффициент занятости каналов: k_з = 2/4 =0.5.

Среднее число заявок в системе:

.

Среднее время, которое заявка проводит в очереди:

Среднее время, которое заявка проводит в системе:

.

Таким образом, модели массового обслуживания в сочетании с экономическими методами постановки задач позволяют проводить анализ существующих систем массового обслуживания, разрабатывать реко­мендации по их реорганизации для повышения эффективности работы, а также определять оптимальные показатели вновь соз­даваемых систем массового обслуживания.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Назовите основные элементы системы массового обслуживания.

2. Какими свойствами обладают случайные процессы, протекающие в СМО?

3. Какие СМО являются марковскими?

4. Какими свойствами характеризуются простейшие потоки?

5. Каков закон распределения интервала времени между событиями простейшего потока?

6. Назовите основные классификационные признаки СМО.

7. Что такое СМО с отказами?

8. Что такое СМО с ожиданием?

9. Что такое однофазная СМО?

10. Что такое многофазная СМО?

11. Что такое замкнутая СМО?

12. Что собой представляет размеченный граф состояний системы?

13. Назовите основные показатели эффективности функционирования СМО с отказами.

14. Назовите основные показатели эффективности функционирования СМО с ожиданием.

15. Назовите основные показатели эффективности функционирования СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди.

16. Назовите критерии оптимальности СМО.

ТЕСТЫ

1. Входящий поток заявок распределен по:

а) показательному закону;

б) Пуассоновскому закону;

в) нормальному закону.

2. Промежуток времени между двумя соседними заявками потока обслуживания представляет собой:

а) время обслуживания одной заявки;

б) время простоя канала;

в) время обслуживания одной заявки плюс время простоя канала;

3. Для одноканальной СМО относительная пропускная способность равна вероятности того, что канал:

а) занят;

б) свободен;

4. Для СМО с отказами среднее число занятых каналов – это среднее число заявок:

а) в системе;

б) под обслуживанием;

в) в очереди.

5. Для одноканальной СМО без ограничений на длину очереди относительная пропускная способность:

а) Q> 1;

б) Q< 1;

в) Q=1.

6. Для n-канальной СМО с числом мест в очереди m вероятность отказа совпадает с вероятностью того, что количество заявок в системе равно:

а) m+n;

б) m+n+1;

в) m+n+2.

7. Число состояний для n-канальной СМО без ограничений на длину очереди

а) конечно;

б) бесконечно.

8. Для n-канальной СМО без ограничений на длину очереди вероятность отказа равна нулю, если:

а) свободны все каналы;

б) свободен хотя бы один канал;

в) все каналы заняты, но очереди нет;

г) все каналы заняты и образуется очередь.

9. Среднее число заявок, которым отказано в обслуживании, описывается величиной

а) Р₀;

б) Р_отк;

в) А;

г) q.

10. Число состояний одноканальной СМО с ограничением на длину очереди в m заявок равно:

а) m;

б) m+1;

в) m+2.

11. Для n-канальной СМО без ограничений на длину очереди существует стационарный режим работы, если показатель нагрузки на один канал r/n:

а) меньше 1;

б) больше 1;

в) равен 1.