Расчет основных показателей теории массового обслуживания

Расчет характеристик работы СМО различного вида может быть проведен на основе расчета вероятностей состояний СМО. Состояние СМО определяется числом требований, находящихся в системе.

Математическая модель СМО записывается в виде системы дифференциальных уравнений Колмогорова. Уравнения Колмогорова представляют собой систему дифференциальных уравнений, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний. Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени. Особый интерес представляют вероятности системы в предельном стационарном режиме, т.е. предельные или финальные вероятности состояний. Предельная вероятность состояния имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии.

При анализе СМО удобно пользоваться геометрической схемой, так называемым графом состояний. Размеченным графом состояний системы (в которой протекает случайный процесс) называется схема, в которой состояния системы обозначаются квадратами (кругами), внутри которых помещаются обозначения состояния, а стрелками указаны возможные непосредственные переходы из состояния в состояние, при этом у каждой стрелки указывается плотность вероятности перехода.

Пример 6.2.1. Рассмотрим СМО с одним каналом и одним местом в очереди, на вход которой поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Предположим, что поток обслуживаний также простейший с интенсивностью μ. Построим систему дифференциальных уравнений Колмогорова и рассчитаем основные показатели эффективности функционирования данной системы.

Рис. 6.2.2. Граф состояний системы с одним обслуживающим устройством и одним местом в очереди.

Пронумеруем состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе.

S₀ – канал свободен

S₁- канал занят и очереди нет, то есть в СМО находится одна заявка

S₂ – канал занят и в очереди одна заявка

Таким образом, СМО может находится в одном из трех состояний, граф которых представлен на рисунке 6.2.2.

Переход системы из состояния S₀ в состояние S₁, а также из состояния S₁ в состояние S₂ происходит под воздействием входящего потока заявок, а из состояния S₂ в состояние S₁ и из состояния S₁ в состояние S₀ систему переводит поток обслуживания. Плотности вероятности перехода из состояния S₀ в S₁ и из S₁ в S₂ и обратно равны соответственно λ и μ.

Найдем все вероятности состояний для данной системы. Пусть P_k(t) –вероятность того, что в момент времени t система находилась в состоянии k (k=1, 2, 3). Рассмотрим произвольный момент времени t и дадим ему приращение Δ t. Из теории вероятностей известно, что для достаточно малого промежутка времени Δ t вероятность перехода системы из некоторого i-го состояния в некоторое j-е состояние пропорциональна длине этого промежутка.

где — интенсивность перехода.

Используя теорему сложения вероятностей запишем

Учитывая то, что

, ,

, ,

преобразуем наши выражения следующим образом:

Устремив Δ t к нулю, слева получим производные соответствующих функций. Таким образом, мы получили систему дифференциальных уравнений, которая носит имя Колмогорова:

Данная система имеет решение с учетом нормировочного условия .

Особый интерес представляют вероятности системы в предельном стационарном режиме (при ), т.е. финальные вероятности состояний, которые могут быть получены путем решения системы при равных нулю производных, поскольку зависимость от времени пропадает.

Итак, предельные вероятности состояний данной системы имеют вид:

Введем в рассмотрение параметр , который называется интенсивностью нагрузки и выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Тогда вероятности состояний примут вид.

Найдем предельные характеристики эффективности функционирования данной СМО:

1) Вероятность отказа. Поступившая на вход СМО заявка получает отказ тогда и только тогда, когда канал занят и в очереди находится заявка, т.е. когда система находится в состоянии S₂.

2) Относительная пропускная способность СМО Q:

Относительная пропускная способность показывает среднюю долю принятых в систему заявок среди всех поступивших и равна вероятности того, что поступившая заявка будет принята в систему.

3) Абсолютная пропускная способность СМО А:

Абсолютная пропускная способность — среднее число заявок, которое может обслужит СМО за единицу времени.

Многоканальная СМО с отказами. Рассмотрим классическую задачу Эрланга. Пусть в n -канальную систему массового обслуживания поступает простейший поток требований с интенсивностью l. Время обслуживания требований (для одного канала) экспоненциальное, со средним значением t_обс.

Если требование поступает в систему в момент, когда все n каналов заняты, то оно получает отказ (покидает систему не обслуженным). Если же в момент поступления требования имеется хотя бы один свободный канал, то оно принимается к обслуживанию и обслуживается до конца. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Пронумеруем состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе.

S₀ — система свободна

S₁ – занят один канал

…

S_n – заняты все каналы

Переходы из состояния S_k в состояние S_k+1 происходят под воздействием входящего потока заявок с интенсивностью λ. Переход из состояния S_k в состояние S_k-1 происходит под воздействием суммарного потока обслуживаний k каналами; интенсивность суммарного потока равна сумме интенсивностей слагаемых потоков.

Размеченный граф состояний системы без очереди представлен на рис. 6.2.3.

Рис. 6.2.3. Граф состояний многоканальной СМО без очереди.

Показатели эффективности СМО без очереди представлены в таблице 6.2.2.

Таблица 6.2.2

Показатели эффективности СМО без очереди

№	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1.	Вероятности состояний
2.	Вероятность отказа
3.	Относительная пропускная способность (доля обслуженных заявок)	q = 1- Ротк.
4.	Абсолютная пропускная способность (среднее число обслуживаемых заявок за единицу времени)	А = lq.
5.	Среднее число занятых каналов
6.	Коэффициент занятости каналов

Пример 6.2.2. Коммерческая фирма осуществляет часть переговоров по 3 телефонным линиям. Проведенные исследования показали, что в среднем поступает 75 звонков в час. Среднее время предварительных переговоров составляет 2 мин. Определим характеристики системы и дадим оценку ее работы.

Решение. Рассматриваемая система является многоканальной системой массового обслуживания с отказами, для которой n=3, m=0, l = 75зв./час, .

Определим:

Интенсивность нагрузки:

Находим вероятность того, что обслуживанием не занят ни один канал, т.е. система свободна:

Вероятность того, что заявка, поступившая в систему, получит отказ, равна вероятности занятости всех трех линий:

,

что показывает долю заявок, которые не получили возможность провести переговоры.

Относительная пропускная способность системы:

Абсолютная пропускная способность системы:

клиента/час

Среднее число занятых каналов:

Коэффициент занятости каналов –

Вывод. Доля потерянных заявок составляет 28%, а обслуженных всего – 72%. Абсолютная пропускная способность равна 54 заявки в час; каждый канал занят обслуживанием всего 60% времени. Повышение эффективности работы системы можно осуществить путем увеличения числа телефонных линий и снижения среднего времени обслуживания.

Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди. Пусть в n -канальную систему массового обслуживания поступает простейший поток требований с интенсивностью l; число мест в очереди ограничено и равно m. Время обслуживания требований (для одного канала) экспоненциальное, со средним значением t_обс.

Пронумеруем состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе.

S₀ — система свободна

S₁ – занят один канал

…

S_n – заняты все каналы

S_n+1 – заняты все каналы и одно место в очереди

…

S_n+m – заняты все каналы и все места в очереди

Размеченный граф состояний системы представлен на рис. 6.2.4.

Рис. 6.2.4. Граф состояний многоканальной СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди.

Расчет показателей эффективности СМО с ограничением на длину очереди приведен в табл. 6.2.3.

Таблица 6.2.3