Угол между двумя прямыми

Литература: [1], гл. 5, § 8–9, стр. 107–112; [7], гл. 3, § 23, 24, стр. 80–85.

Основные определения, теоремы и формулы

В прямоугольной системе координат расстояние от точки до прямой , заданной уравнением вычисляется по формуле: .

Пусть даны две прямые и . Выберем направляющие векторы и этих прямых так, чтобы направленный угол между ними был не больше прямого угла. Тогда направленный угол между векторами и называется направленным углом между прямыми и : , где и соответственно координаты векторов и в ортонормированном базисе.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое «расстояние от точки до прямой»?

2. Как определяется расстояние от точки до фигуры?

3. Вывести формулу для вычисления расстояния от точки M (x ₀, y ₀) до прямой Ax + By + C =0.

4. Сформулировать определение угла между прямыми и пояснить на примере.

5. Вывести формулу для вычисления угла между двумя прямыми.

6. Какой вид примет формула для вычисления угла между прямыми, если прямые заданы: а) общими уравнениями и ; б) уравнениями с угловыми коэффициентами и ?

7. Запишите условие перпендикулярности двух прямых в каждом из случаев, указанных выше.

Задачи

1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку A (–1, 4), если расстояние от этой прямой до точки B (–2, –1) равно 5.

2. Найти координаты центра окружности, вписанной в треугольник ABC, если: а) A (2, 1), B (–1, 4), C (3, –1); б) A (0, 1), B (–1, 2), С (2, 3).

3. Написать уравнения прямых, отстоящих от прямой, заданной уравнением 4 x –3 y –7=0, на расстоянии, равном 4.

4. Написать уравнения прямых, симметрия относительно которых переводит прямую x + y +1=0 в прямую 2 x – y =0.

5. Начало координат является центром квадрата, уравнение одной из прямых, содержащих сторону квадрата, имеет вид x +2 y –1=0. Вычислить координаты вершин квадрата.

6. Точка M (3, –2) принадлежит основанию BC равнобедренного треугольника ABC. Написать уравнение прямой BC, если

AC: 4 x –3 y +7=0, AB: 3 x –4 y –3=0.

7. Написать уравнение прямой, содержащей биссектрису того из углов между прямыми, заданными уравнениями x +2 y –5=0 и 3 x –6 y +2=0, внутри которого лежит начало координат.

8. Луч света, направленный по прямой, заданной уравнением x+y +3=0, отражается от прямой, заданной уравнением 3 x-y +5=0. Написать уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.