Аффинные и метрические задачи

Литература: [1], гл. 4, § 1, стр. 66− 69; [7], гл.2, §11, 14, стр. 45–49, 54–55.

Основные определения, теоремы и формулы

Система координат называется прямоугольной декартовой или просто прямоугольной, если его координатные векторы являются единичными и взаимно перпендикулярными векторами. Такая система координат с началом в точке O обозначается так: или , где .

Если прямоугольной системе координат точки A и B имеют координаты A (), B (), то длина отрезка .

Вопросы для самоконтроля

1. Какая система координат называется прямоугольной?

2. Какая задача называется аффинной? Какая – метрической?

3. Какие задачи можно решить в прямоугольной системе координат? Приведите примеры.

Пример. В прямоугольной системе координат вершины треугольника заданы своими координатами и . Найдите длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А (Рис. 14).

Решение. Известно, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные длинам прилежащих сторон. Найдем длины этих сторон:

, .

Тогда, если D(x, y) – точка пересечения биссектрисы и стороны BC, то она делит эту сторону в отношении

. Теперь найдем координаты точки D:

; ; .

Задачи

1. Точка M имеет координаты x, y в прямоугольной декартовой системе координат. Найти координаты точки, симметричной точке M относительно: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) начала координат; г) биссектрисы I и III координатных углов.

2. При каком значении k треугольник с вершинами в точках A (1, 3), B (2, − 1), C (4, k) равнобедренный?

3. Вычислить координаты вершин равностороннего треугольника ABC по координатам его вершины A и центра тяжести M:

1) A (2, 0), M (1, − 2); 2) A (− 2, 1), M (0, 1).

4. По координатам вершин треугольника ABC выяснить, будет ли он остроугольным, прямоугольным или тупоугольным:

A (1, 1), B (3, − 1), C (7, 3); 2) A (4, 0), B (1, 1), C (6, 3).

5. По координатам вершин A и C квадрата ABCD вычислить координаты вершин B и D: 1) A (1, 1), C (− 2, − 1); 2) A (− 1, 0), C (3, 1).

6. Треугольник ABC задан координатами своих вершин:

A (2, − 3), B (3, 2), C (− 2, 5). Вычислить длину высоты, проведенной из вершины C.

7. Площадь параллелограмма равна 12, две его вершины совпадают с точками A (− 1, 3) и B (− 2, 4). Найти две другие вершины этого параллелограмма при условии, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси абсцисс.

8. По координатам (2; 0), (5; 3 ) двух смежных вершин правильного шестиугольника, заданными в прямоугольной декартовой системе координат, найти координаты его центра и остальных вершин.

Задачи повышенной трудности

1. На сторонах произвольного треугольника вне его построены правильные треугольники. Доказать, что центры этих правильных треугольников являются вершинами некоторого правильного треугольника.

2. Вычислите длину биссектрисы прямого угла прямоугольного треугольника, катеты которого равны соответственно и .

3. Доказать, что в любом неравнобедренном треугольнике биссектриса всегда заключена между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.

Домашнее задание

1. В треугольнике ABC с вершинами A (− 4, 7), B (7, 5), C (4, 1), с заданными в прямоугольной декартовой системе координат, проведена высота CH. Найти координаты точки H.

2. Найти координаты центра и радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если в прямоугольной декартовой системе координат: а) A (2, 2), B (5, 1), C (7, − 3); б) A (5, 4), B (− 2, − 7), C (3, 8).

Тема 2.3. Полярная система координат.