Решение задач школьного курса методом координат

Литература: [1], гл. 5, § 1-10, стр. 87–114; [7], гл.2, § 19, стр. 68–72, гл. 3, §25, стр. 85–88.

Задание на плоскости системы координат позволяет определить точки плоскости с помощью пар чисел, а любую фигуру, как множество точек, можно тогда определить с помощью уравнений, неравенств или их систем и тем самым при доказательстве теорем или решении геометрических задач можно использовать аналитические методы.

В этом и заключается суть метода координат на плоскости.

Использование метода координат позволяет алгоритмизировать процесс решения геометрических задач.

Этот алгоритм содержит следующие этапы:

1. Выделим условие (данные) и заключение (требуемое) в задаче. Определим, какая это задача – аффинная или метрическая. При необходимости построим чертеж.

2. Если задача аффинная, то выберем на плоскости удобную аффинную систему координат. Если же задача метрическая, то выберем либо прямоугольную, либо полярную систему координат.

3. Переведем данные и требуемое в задаче на язык координат.

4. С помощью выкладок (вычислений) получим из данных требуемое.

Рассмотрим применение этого алгоритма при решении конкретной задачи.

Пример. Дан треугольник АВС и точки , , , отличные от вершин. Доказать, что прямые (АА ₁), (ВВ ₁), (СС ₁) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда (теорема Чевы).

Замечаем, что здесь представлены две взаимообратные задачи.

Задача 1. Дан треугольник АВС и точки , , . Если , то (АА ₁), (ВВ ₁), (СС ₁) пересекаются в одной точке (Рис. 24)

Задача 2. Дан треугольник АВС и точки , , . Если прямые (АА ₁), (ВВ ₁), (СС ₁) пересекаются в одной точке, то .

Решим задачу 1. Дано: , , , , ,

.

Доказать: .

Решение: Так как в задаче говорится только о делении отрезков в заданных отношениях и пересечениях прямых, то это аффинная задача и для ее решения можно выбрать аффинную систему координат. Выберем аффинный репер . Тогда А (0, 0), В (0, 1), С (1, 0), С ₁(0, у), В ₁(х, 0), А ₁(х ₁, у ₁). Обозначим , . Тогда по условию задачи . Определим координаты точек А ₁, В ₁, С ₁ по известной формуле деления отрезка в заданном отношении:

; ; ; .

Значит, , , .

Составим уравнение прямых (АА ₁), (ВВ ₁), (СС ₁). Замечаем, что при составлении уравнения прямых (ВВ ₁) и (СС ₁) можно воспользоваться уравнением прямых в отрезках.

(ВВ ₁): или .

(СС ₁): или .

(АА ₁): или .

Определим координаты точки :

Отсюда

; ; .

Подставив координаты точки М в уравнение прямой (СС ₁), получим тождество: . Следовательно, .

Задача 2 так же решается методом координат. Выберем аффинный репер . Тогда А (0, 0), В (0, 1), С (1, 0). Обозначим , и последовательно выполним следующие действия: 1) вычислим координаты точек и ; 2) составим уравнения прямых и ; 3) определим координаты точки ; 4) составим уравнение прямой ; 5) определим координаты точки – точки пересечения прямых и ; 6) вычислим и убедимся, что оно равно .

С интересными примерами применения метода координат можно познакомиться в [1, §§ 19, 26].

Задачи

1. Методом координат доказать, что в любом треугольнике пересекаются в одной точке: 1) медианы; 2) высоты; 3) биссектрисы.

2. Доказать, что сумма квадратов расстояний от всех вершин квадрата до прямой, проходящей через его центр, не зависит от выбора прямой. Найти эту сумму, если сторона квадрата равна .

3. Найти множество центров тяжести всех треугольников, две вершины которых зафиксированы, а третьи вершины лежат на данной прямой.

4. В плоскости треугольника ABC дана произвольная точка M. Точки M ₁, M ₂, M ₃ симметричны точке M относительно середин сторон BC, CA, AB соответственно. Доказать, что прямые AM ₁, BM ₂, CM ₃ пересекаются в одной точке.

5. Точки E и M – середины сторон AD и BC параллелограмма ABCD. Доказать, что прямые BE и MD делят диагональ AC параллелограмма на три равные части.

6. Даны две параллельные прямые и . Найти множество точек, делящих в одном и том же отношении все отрезки LD, концы которых соответственно лежат на прямых и .

7. Доказать, что сумма квадратов расстояний от фиксированной точки, взятой в плоскости данной окружности, до концов произвольного диаметра этой окружности есть величина постоянная, не зависящая от выбора диаметра.

Задачи повышенной трудности

1. Доказать, что произведение любых двух сторон треугольника равно произведению его высоты, проведенной из их общей вершины, на диаметр описанной окружности.

2. Доказать, что каждая прямая, проходящая через основания высот, проведенных из двух вершин непрямоугольного треугольника, перпендикулярна прямой, проходящей через его третью вершину и центр окружности, описанной около этого треугольника.

3. Найти множество точек пересечения диагоналей прямоугольников, вписанных в данный треугольник так, что две соседние вершины каждого прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие на боковых сторонах.

Домашнее задание

1. В квадрат вписана окружность. Доказать, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до сторон квадрата не зависит от выбора точки на окружности. Найти эту сумму, если сторона квадрата равна 2 .

2. Найти множество точек плоскости, сумма квадратов расстояний, от каждой из которых до концов одной диагонали прямоугольника равна сумме квадратов расстояний до концов другой его диагонали.

3. Даны две параллельные прямые и , и их центр симметрии M. Через точку M проведены две произвольные, взаимно перпендикулярные прямые s и l, пересекающие прямые и соответственно в точка A и B. Доказать, что расстояние от точки M до прямой AB не зависит от выбора прямых s и l.

Индивидуальные задания

Вариант 1

1. Точки A (1, 1), B (–1, 2), C (2, –1) – три вершины равнобочной трапеции. Вычислить координаты четвертой вершины.

2. Фигура F задана уравнением Какую фигуру задает уравнение: 1) ; 2) ; 3) .

3. Составить уравнение множества центров тяжести треугольников, имеющих две вершины A (x ₁, y₁), B (x ₂, y ₂), если третья вершина лежит на окружности радиуса , центр которой – начало координат.

4. На прямой 2 x–y– 10=0 найти точку, сумма расстояний от которой до точек A (–5, 0) и B (–3, 4) была бы наименьшей.

5. Какие координаты будет иметь точка A в аффинной системе координат (), если в репере (O, ): A (3, –1), .

Вариант 2

1. Две прямые x+y– 2=0, x+y +3=0 повернуты вокруг начала координат на 90⁰. Найти координаты точек пересечения данных прямых и их образов при повороте. Доказать, что полученные точки являются вершинами квадрата.

2. Отрезок постоянной длины движется так, что один его конец скользит по окружности x ²+ y ² = r ², а другой – по оси Ox (шатунно-кривошипный механизм). Составить уравнение кривой, которую описывает точка отрезка, разделяющая его на части и .

3. Прямая d проходит через вершину A и середину медианы BM треугольника ABC, N – точка пересечения прямой d со стороной BC. Доказать, что отношение (BC, N)= .

4. В системе координат (O, ) даны линии уравнениями:

1) x– 2 y +1=0; 2) x + y =0; 3) y –3=0. Найти уравнения тех же линий в системе (), если .

5. Вычислить площадь параллелограмма ABCD по координатам трех его вершин в репере (O, ): 1) A (3, 1), B (–1, 0), C (2, –1); 2) A (3, –1), B (2, 1), C (–3, 0).

Вариант 2

1. Дан треугольник ABC. Прямая d пересекает прямые BC, CA, AB соответственно в точках A ₁, B ₁ и C ₁. На каждой прямой построены точки A ₂, B ₂, C ₂ симметричные точкам A ₁, B ₁, C ₁ относительно середины содержащих их сторон. Доказать, что точки A ₂, B ₂ и C ₂ принадлежат на одной прямой.

2. Найти множество точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки A вдвое больше расстояния до данной прямой a, проходящей через точку A.

3. Написать аналитические условия, определяющие треугольник ABC, если: 1) A (3, 1), B (–2, 0), C (0, 1); 2) A (–3, 1), B (2, 0), C (0, 1).

4. На сторонах прямого угла ACB даны две точки A и B так, что CA = CB. Найти множество точек M, расположенных внутри угла, для которых луч MC есть биссектриса угла AMB.

5. Написать формулы преобразования прямоугольных декартовых координат в каждом из следующих случаев:

1) и системы координат () и ( ) ориентированы одинаково; 2) ()=30⁰ и системы координат () и ( ) ориентированы противоположно.

Вариант 3

1. По координатам концов двух отрезков AB и CD выяснить, имеют ли они общую точку: 1) A (3, 1), B (–2, 0), C (0, 1), D (–3, 2); 2) A (1, 0), B (2, 4), C (3, 0), D (0, 6).

2. Через точку M к сторонам треугольника проведены перпендикуляры. Найти множество точек M, для каждой из которых основания перпендикуляров принадлежат одной прямой.

3. На луче x =2+3 t, y =1–2 t, t ≤ 0 найти точку B, расстояние от которой до начала луча равно 5.

4. Написать аналитические условия, определяющие параллелограмм ABCD, если: 1) A (0, 1), B (–1, 2), C (1, 3); 2) A (1, 1), B (–2, 0), C (3, –1).

5. Найти координаты точки, имеющей одни и те же координаты в системах (O, ) и (), где .

6. Доказать, что треугольник ABC – равнобедренный, и составить уравнение его оси симметрии: 1) A (2, 1), B (4, 3), C (2, 3).

Вариант 4

1. На луче x =2+3 t, y =1–2 t, t ≤ 0 найти точку B, расстояние от которой до начала луча равно 3.

2. Дана прямая d и точка A. Вычислить координаты основания перпендикуляра, проведенного из точки A на прямую d, если:

1) d: 3x+4y–1=0, A (2, –1); 2) d: x+3y+2=0, A (–2, 3).

3. Даны уравнения прямых, содержащих высоты треугольника, и координаты одной из вершин треугольника. Вычислить координаты двух других вершин этого треугольника:

1) 3 x +4 y– 7=0, 2 x–y– 1=0, A(5, –3); 2) 3 x +4 y– 2=0, 4 x–y +2=0, A(0, –1).

4. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) даны координаты вершин A (4, 3), B (–1, 2) и уравнение прямой BD: 3 x– 2 y +7=0, перпендикулярной AC. Написать уравнения прямых AB и BC.

5. Через точку пересечения медиан треугольника проведена прямая d. Найти соотношение между расстояниями от вершин треугольника до прямой d.

Вариант 5

1. Написать аналитические условия, определяющие параллелограмм ABCD, если: 1) A (0, 1), B (–1, 2), C (1, 3); 2) A (1, 1), B (–2, 0), C (3, –1).

2. Вычислить координаты орта нормали прямой:

1) x +2 y –3=0; 2) x =2 t– 1, y =5 t +4; 3) .

3. Найти координаты точки, имеющей одни и те же координаты в системах (O, ) и (), где .

4. Даны точки A (5, 2) и B (2, 1). На прямой x+y– 5=0 найти точку M, такую, чтобы AMB =45⁰.

5. Точки M и N принадлежат соответственно сторонам DC и CB параллелограмма ABCD. Через середину отрезков DM и AB проведена прямая. Через середину отрезков AD и BN – вторая прямая, пересекающая первую в точке P. Доказать, что прямая AP проходит через середину отрезка MN.

Вариант 6

1. Прямоугольную декартову систему координат () повернули вокруг начала координат на угол +45⁰. Найти уравнения: 1) новых координатных осей в старой системе; 2) старых координатных осей в новой системе.

2. Определить общую прямую следующих двух пучков:

(2+3 λ) x– (4–7 λ) y + λ =0, (3– μ) x +(4–7 μ) y +5=0.

3. Даны два параллелограмма ABCD и AMNP, где M – точка стороны AB, N – точка стороны AD. Доказать, что прямые MD, BP, NC пересекаются в одной точке.

4. Доказать, что треугольник ABC – равнобедренный, и составить уравнение его оси симметрии: 1) A (2, 1), B (4, 3), C (2, 3); 2) A (1, –3), B (–1, 1), C (0, –1).

5. Прямоугольную декартову систему координат () повернули вокруг начала координат на угол +30⁰. Найти уравнения: 1) новых координатных осей в старой системе; 2) старых координатных осей в новой системе.

Раздел 3. Кривые второго порядка

Необходимость изучения линий в трехмерном пространстве вытекает из их роли в человеческой деятельности, и в частности необходимости знания их преподавателем математики в средней школе, так как со многими из них школьник встретится не только на уроках математики, но и на уроках физики, химии, биологии. Действительно, изучение линий связано с тем, что все расчеты, связанные с их прочностью, требуют знаний линий, которые описывают различные их подвижные точки. Линии, по которым движутся небесные тела, – это эллипсы (траектории планет), параболы и гиперболы (траектории комет). Искусственные спутники и межпланетные ракеты часто движутся по достаточно сложным кривым, и для того чтобы направлять, а иногда и исправлять движения, надо знать свойства их траекторий.

Линии, по которым прогибаются балки различных сооружений (мостов, каркасов зданий и т.д.), очень часто имеют сложную форму, но и с этими линиями приходится иметь дело при всевозможных расчетах.

Все это требует ознакомления с методами изучения различных линий. И учитель должен быть знаком хотя бы с принципиальной стороной этих методов, так как все эти вопросы проникают даже на страницы газет, которые читают и школьники.

Целью данного раздела является изучение возможностей использования метода координат (алгебраического метода) для исследования кривых второго порядка.

Здесь перед геометрией стоят две основные задачи: во-первых, научиться по уравнениям кривых исследовать свойства этих кривых и, во-вторых, научиться по свойствам кривой составлять ее уравнение. Действительно, составив уравнение кривой по одному какому-то ее свойству, можно с помощью уравнения как вести различные расчеты в технике, так и обнаружить новые свойства этой кривой.

Тема 3.I. Окружность

Литература: [1], гл.6, §§ 2-4, стр. 119–129; [7], гл. 4, § 27, стр. 91–95.

Основные определения, теоремы и формулы

Линия называется алгебраической линией второго порядка, если в какой-либо аффинной системе координат ее можно задать алгебраическими уравнениями второй степени, то есть уравнением вида:

,

где хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

Это уравнение второго порядка с двумя переменными в прямоугольной декартовой системе определяет окружность, если и , то есть, если его можно записать в следующем виде:

Если разделим обе части уравнения на и выделим полные квадраты, то получим: – это каноническое уравнение окружности с центром в точке C и радиусом R (Рис. 25); или (x–a)²+(y–b)²=0 – вырожденную окружность (точку С ; или – мнимую окружность (пустое множество точек)).

Уравнения: (0 )

называются параметрическими уравнениями окружности, С – центр окружности, R – ее радиус, t – величина ориентированного угла между положительным направлением оси ОХ и подвижным радиусом CM. В полярной системе координат окружность определяется уравнением:

²-2 ₀cos( ₀)+ ₀²= R ² ,

где () – координаты произвольной точки окружности; ( ₀, ₀) – координаты ее центра С и R – ее радиус.

Примеры решенных задач

Пример 1. Определить центр и радиус окружности, заданной уравнением .

Решение: Так как в рассматриваемом уравнении коэффициенты при и равны между собой, и отсутствует член с произведением координат, то это уравнение окружности. Чтобы определить координаты ее центра и радиус, необходимо, выделяя полные квадраты, привести уравнение к каноническому виду:

,

,

.

Значит, центр окружности имеет координаты (1, –2), и радиус окружности равен 5.

Координаты центра и радиус окружности можно найти и неприводя данное уравнение к каноническому виду. Для этого достаточно сравнить рассматриваемое уравнение с уравнением окружности в общем виде:

и .

Сравнивая коэффициенты в приведенных уравнениях, получим: –2 =–2; –2 =4; . Следовательно, =1; =–2; R ²=25, R =5. Ответ: C(1, –2), R =5.

Пример 2. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А (–1, 1) и В (1, –3), если центр ее лежит на прямой 2 x–y +1=0.

Решение: Запишем каноническое уравнение окружности: . Так как окружность проходит через точки А и В, то координаты этих точек должны удовлетворять уравнению окружности. Имеем два уравнения:

, .

Если центр окружности лежит на прямой 2 x – y +1=0, то координаты центра должны удовлетворять уравнению этой прямой:

2 – +1=0. Решив систему из полученных уравнений, получим

С (– , – ), r ²= и уравнение искомой окружности имеет вид:

.

Задачи

1. Найти уравнение окружности, для которой точки (2, 2) и (8, 10) являются концами одного диаметра.

2. Составить уравнение окружности, касающейся оси OX и проходящей через точки A (–2, 1) и B (6, 5).

3. Составить уравнения касательных, проведенных из начала координат к окружности x ²+ y ²–4 x –8 y +18=0.

4. Найти центр и радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 3 x +4 y –13=0, 4 x– 3 y +12=0, 8 x +6 y +9=0.

5. Вычислить расстояние от окружности 16 x ²+16 y ²+48 x –8 y +28=0 до прямой 8 x –4 y +73=0.

6. Составить уравнение окружности c центром C (R, φ ₀) в полярных координатах, если радиус ее равен R.

7. Найти множество точек, сумма квадратов расстояний от двух данных точек A и B есть величина постоянная.

8. Окружность и ромб имеют общий центр. Доказать, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин ромба постоянна.

9. Доказать, что если через некоторую точку M провести прямую, пересекающую окружность в точках A и B, то произведение MA ּ MB не зависит от выбора этой прямой.

10. В окружность вписан правильный треугольник ABC, точка M принадлежит меньшей дуге AB этой окружности. Доказать, что MC = MA + MB.