Аналитическое задание полуплоскости

Литература: [1], гл. 5, §§ 1, 10, стр. 87–91, 108– 112; [7], гл. 3, § 20, 21, стр. 72–78.

Основные определения, теоремы и формулы

Всякий ненулевой вектор , параллельный прямой , называется направляющим вектором этой прямой (рис. 23). Уравнение прямой, заданной точкой M ₀() и направляющим вектором имеет вид:

или (p).

Уравнения (p) называются параметрическими уравнениями прямой.

Уравнение прямой, заданной двумя точками M ₁() и M ₂(), имеет вид: . Если и , то последнее уравнение можно записать так:

.

Это уравнение прямой называется каноническим.

Вопросы для самоконтроля

1. Может ли направляющий вектор прямой быть параллельным оси OX?

2. Перечислите основные способы задания прямой на плоскости.

3. Запишите параметрические, каноническое и общее уравнение прямой. Как перейти от параметрических уравнений прямой к общему уравнению и от общего уравнения прямой к параметрическим? Поясните на примерах.

4. Прямая задана уравнением 2 x -3y+5=0. Найдите вектор: а) параллельный данной прямой; б) не параллельный прямой; в) вектор нормали данной прямой. Всегда ли можно решить эти задачи?

5. Какую фигуру задают уравнения (p), если параметр : 1) принимает только целые значения; 2) принимает все значения из сегмента [1; 2]; 3) принимает все значения из интервала (1; 2); 4) неотрицателен.

6. Прямая задана уравнением Ax+By+C =0 в аффинной системе координат. Докажите, что вектор является направляющим вектором этой прямой, а вектор не параллелен ей. Останется ли утверждение справедливым, если система координат будет прямоугольной декартовой?

7. Выведите уравнение прямой в отрезках. Определите координаты направляющего вектора, пользуясь уравнением прямой в отрезках.

8. Каковы особенности в расположении прямой, заданной в аффинной системе координат общим уравнением Ax+By+C =0, относительно самой системы координат, если некоторые из коэффициентов A, B, C обращаются в нуль?

9. В аффинной системе координат прямая задана уравнением Ax+By+C = 0. Какая фигура определяется условием: а) Ax+By+C > 0,

б) Ax+By+C ≥ 0, в) Ax+By+C < 0, г) Ax+By+C ≤ 0?

10. Даны общие уравнения прямых A ₂ x + B ₂ y + C ₂ = 0, A ₁ x + B ₁ y + C ₁ = 0. Какая фигура определяется системой неравенств: A ₁ x + B ₁y+ C ₁ > 0, A ₂ x + B ₂ y + C ₂ > 0?

Задачи

1. Написать общее и параметрические уравнения прямой: а) проходящей через точку A (–3, 2) параллельно вектору (–5, 4);

б) проходящей через точки C (1, 3) и D (–7, 5). Начертить аффинную систему координат и изобразить эти прямые.

2. Написать общее и каноническое уравнения прямой, если заданы ее параметрические уравнения: 1) x =3 – t, y = 2 t +1; 2) x =3 t +1, y = t –1.

3. Написать параметрические уравнения прямой, заданной в аффинной системе координат общим уравнением: а) 3 x - y +5=0; б) 2 y =7; в) 3 x =–1.

4. Написать неравенство, определяющее ту полуплоскость, границей которой служит прямая 3 x – y –2=0, в которой лежит: а) точка A (2, –3); б) начало координат.

5. Записать аналитические условия, определяющие полосу между параллельными прямыми 3 x +7 y – 6=0, 3 x +7 y +7=0.

6. Точки A (1, 0), B (–2, 5), C (4, 9) являются вершинами треугольника ABC. Доказать, что точка M (2, 6) лежит внутри треугольника ABC, а прямая, заданная уравнением x –3 y –5=0, не имеет общих точек с треугольником.

7. Выяснить, является ли четырехугольник ABCD выпуклым, если: 1) A (3, 1), B (–2, 4), C (–1, 0), D (3, –1); 2) A (2, 1), B (–3, 0), C (4, –2), D (–1, –1).

8. Доказать, что лучи [ AB)={ M (x, y)I x =1+ t, y =2– t, t ≥ 0} и [ CD)={ N (x, y)| x =2–3 k, y =4+3 k, k ≤ 0} одинаково направлены, и написать аналитические условия, определяющие полуплоскость, которой принадлежат эти лучи.

9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M перпендикулярно прямой , если: 1) M (3, 1), : 2 x + y- 3=0; 2) M (0, –2), : x-y +5=0; 3) M (–2, 2), : y =3 x –1.

10. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Известны уравнения прямых AB: 4 x + y –12=0, AH: 2 x +2 y –9=0, BH: 5 x –4 y –15=0. Написать уравнения прямых BC и AC.

Задачи повышенной трудности

1. В прямоугольной декартовой системе координат написать уравнение прямой, которая проходит через точку A (8, 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12.

2. Даны координаты вершин A (1, 2), B (–1, 6), C (5, 10) треугольника ABC в прямоугольной декартовой системе координат. Написать уравнения прямых, содержащих стороны ромба AMNP, вписанного в треугольник ABC так, что вершина M лежит на стороне AB, вершина N – на стороне BC и вершина P – на стороне AC.

3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку P (), где , и образующей с осями прямоугольной декартовой системы координат треугольник наименьшей площади. Вычислить площадь этого треугольника.

4. Найти координаты точки M, симметричной точке N (x₀, y₀) относительно прямой Ax + By + C =0.

Домашнее задание

1. Написать уравнение прямой: а) проходящей через начало координат и параллельной вектору, имеющего угловой коэффициент ; б) проходящей через точку M (3, 1) параллельной прямой, заданной уравнением

5 x –7 y –3=0.

2. Известны координаты вершин треугольника ABC: A (–3, –2), B (2, 0), C (1, 2). Записать условия, определяющие внутреннюю область треугольника.

3. Написать аналитические условия, определяющие параллелограмм ABCD, если: 1) A (0, 1), B (–1, 2), C (1, 3); 2) A (1, 1), B (–2, 0), C (3, –1).

Тема 2.7. Взаимное расположение двух прямых.

Пучки прямых

Литература: [1], гл. 5, § 2, стр. 91–93; [7], гл. 3, § 22, стр. 78–80.

Основные определения, теоремы и формулы

Пусть в аффинной системе координат прямые и заданы соответственно общими уравнениями и .

Прямые и :

1) пересекаются тогда и только тогда, когда коэффициенты при и в уравнениях прямых не пропорциональны;

2)совпадают тогда и только тогда, когда все коэффициенты в уравнениях прямых пропорциональны;

3) параллельны тогда и только тогда, когда коэффициенты при и пропорциональны, но свободные члены им не пропорциональны.

Например, прямые, заданные уравнениями: 1) и пересекаются; 2) и совпадают; 3) и параллельны.

Вопросы для самоконтроля

1. Как по уравнениям двух прямых, заданных в аффинной системе координат, установить их взаимное расположение, если прямые заданы: 1) общими уравнениями; 2) параметрическими уравнениями?

2. Существуют ли значения коэффициентов A и B, при которых прямые, заданные уравнениями Ax - By + C =0, Bx + Ay + C =0, параллельны?

3. Что такое пучок прямых?

4. Какой пучок прямых называется: а) эллиптическим? б) гиперболическим? Какой вид имеют уравнения каждого из пучков?

5. Какой вид имеет уравнение прямой, параллельной прямой Ax +B y + C =0 и проходящей через: а) начало координат; б) через точку M ₀(x ₀, y ₀).

Задачи

1. Выяснить взаимное расположение двух прямых, заданных

уравнениями: 1) x + y –3=0 и 2 x +2 y –6=0; 2) x +2 y +1=0 и

x +2 y –3=0; 3) x =1+ t, y =2+ t и x = t, y =3– t.

2. Можно ли подобрать параметр k так, чтобы прямые, заданные уравнениями 3 kx –8 y +1=0 и (1+ k) x –2 ky =0: а) были параллельными; б) совпадали; в) пересекались; г) были перпендикулярны? В каких системах координат решается каждая из задач?

3. Две стороны и медиана треугольника лежат на прямых, заданных уравнениями x +2 y –3=0, x + y –2=0 и 5 x +6 y –15=0 соответственно. Написать уравнение прямой, содержащей третью сторону треугольника.

4. Вершины треугольника ABC в прямоугольной декартовой системе координат имеют координаты: A (4, –5), B (4, 1), C (0, 2). Написать уравнения прямых, содержащих медиану AM, биссектрису AD и высоту AH этого треугольника.

5. Точка A (2, –1) – одна из вершин квадрата. Найти координаты остальных вершин, если известно, что сторона квадрата, не содержащая вершину A, лежит на прямой 3 x –4 y +5=0.

6. По координатам двух вершин A и B ромба ABCD и уравнению прямой CD вычислить координаты двух других его вершин: 1) A (1, 1), B (–2, 3), CD: 2 x +3 y +5=0; 2) A (0, 4), B (2, 3), CD: x +2 y –3=0.

7. ABCD – ромб. Известны уравнения прямых AB: x +3 y +12=0, CD: x +3 y –8=0, AC: x –2 y +2=0. Найти уравнения прямых BC, AD.

Задачи повышенной трудности

1. Дан треугольник ABC и точки C ₁, A₁, B ₁, лежащие соответственно на прямых AB, BC, CA и отличные от вершин A, B, C. Доказать, что прямые AA ₁, BB ₁, CC ₁ проходят через одну точку или параллельны тогда и только тогда, когда (AB, C ₁)(BC, A ₁)(CA, B ₁)= –1 (теорема Чевы).

2. Дан треугольник ABC и точки C ₁, A ₁, B ₁, лежащие соответственно на прямых AB, BC, CA и отличные от вершин A, B, C. Доказать, что если прямые AA ₁, BB ₁, CC ₁ проходят через одну точку D, то

(AA ₁, D)=(AC, B ₁)+(AB, C ₁) (теорема Ван-Обеля).

Домашнее задание

1. Выяснить, какие стороны треугольника ABC с вершинами

A (–6, 3), B (8, 10), C (2, –6) пересекаются с каждой из осей координат. Найти отношения, в которых оси координат делят стороны треугольника.

2. Даны уравнения прямых, содержащих средние линии треугольника: 2 x – y +1=0, x +3 y =0, – x + y +2=0. Написать уравнения прямых, содержащих стороны треугольника.

3. Прямая p, параллельная сторонам AD и BC параллелограмма ABCD, пересекает AB в точке M, СD – в точке N. А прямая q, параллельная двум другим сторонам параллелограмма, пересекает AD в точке P, а CB – в точке Q. Доказать, что прямые PM, NQ и BD принадлежат одному пучку, а прямые PN, MQ и AC – другому пучку.

Тема 2.8. Расстояние от точки до прямой.