Задачи повышенной трудности. 1. Доказать, что окружность, построенная на большой оси эллипса как на диаметре, касается окружности

1. Доказать, что окружность, построенная на большой оси эллипса как на диаметре, касается окружности, диаметром которой служит фокальный радиус произвольной точки эллипса.

2. Доказать, что множество центров всех окружностей, касающихся окружности и проходящих через фиксированную точку, лежащую внутри данной окружности, есть эллипс.

3. Доказать, что для любой прямой, проходящей через один из фокусов гиперболы с центром O и пересекающей линию в точках M и N, сумма не зависит от выбора этой прямой.

Домашнее задание

1. Найти эксцентриситет эллипса, у которого сумма полуосей равна расстоянию между фокусами.

2. Через один из фокусов эллипса, заданного уравнением , проведена хорда, параллельная оси ординат. Найти ее длину.

3. Найти сторону квадрата, вписанного в эллипс, заданного уравнением .

Тема 3.3. Гипербола

Литература: [1], гл. 6, § 5–8, стр. 129–147; [7], гл. 4, § 28, стр. 95–100.

Основные сведения

Гиперболой называется множество всех точек плоскости (Рис. 27), абсолютное значение разности расстояний от каждой из которых до данных точек и равно длине данного отрезка PQ, причем PQ< F ₁ F ₂.

Точки и называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними – фокальным расстоянием.

Уравнение называется каноническим уравнением гиперболы. Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Прямые с угловыми коэффициентами , проходящие через начало координат, называются асимптотами гиперболы.

Задачи

1. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси ОY симметрично началу системы координат, если:

1) Мнимая ось равна 6, гипербола проходит через точку (6, –4);

2) Уравнение асимптот и расстояние между вершинами 48;

3) Расстояние между директрисами , эксцентриситет .

2. Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллипсом и проходящей через точку .

3. Вывести условие, при котором прямая касается гиперболы: .

4. Найти множество центров окружностей, отсекающих на двух перпендикулярных прямых отрезки длинной 2 и 2 .

5. Докажите, что директрисы гиперболы проходят через основания перпендикуляров, опущенных из соответствующих фокусов на асимптоты. Выразите длины этих перпендикуляров через оси гиперболы.

6. Докажите, что произведение расстояний от любой точки до двух ее асимптот для данной гиперболы есть величина постоянная.

7. Докажите, что отрезок асимптоты от центра гиперболы до точки пересечения асимптоты с директрисой равен действительной полуоси гиперболы.

8. Доказать оптическое свойство гиперболы: луч света, исходящий из одного фокуса гиперболы, отразившись от нее, идет по прямой, соединяющий точку отражения с другим фокусом.