Метрические задачи

Литература: [1], гл.4, §4, стр. 77− 84; [7], гл.2, § 16, стр. 59–62.

Основные определения, теоремы и формулы

Зададим на ориентированной плоскости точку O и единичный вектор . Пара, состоящая из точки O и вектора , называется полярной системой координат и обозначается так: (O, ). Точка O называется полюсом, а прямая, проходящая через точку O и параллельную вектору , на которой положительное направление определено этим вектором, называется полярной осью.

.

Вопросы для самоконтроля

1. Постройте точки по их полярным координатам: А , В , С , D , Е , F .

2. Определите координаты точек A, B, C, D, E, F из предыдущей задачи в присоединенной прямоугольной системе координат.

3. Какие полярные координаты у точки, симметричной точке А относительно: 1) полюса; 2) полярной оси?

4. Каким уравнением в полярных координатах задается полярная ось?

5. Что такое обобщенные полярные координаты? Приведите примеры.

Пример 1. Найти радиус вписанной в треугольник окружности, если одна из вершин треугольника лежит в полюсе полярной системы координат, а другие в точках и .

Решение. Из геометрии известно, что , где S – площадь треугольника, P – его периметр. Площадь треугольника вычислим по формуле

, и известны, они равны соответственно 2 и 4. Длину стороны AB найдем по теореме косинусов. Тогда

,

.

Пример 2. Найти полярные координаты точки A, если ее декартовы координаты х= − 1, у= 3 (полярная ось совпадает с положительной полуосью ОХ) (Рис. 18).

Решение. Замечаем, что , , ; так как точка А лежит во II координатной четверти (x< 0, y> 0), то , .

Пример 3. Построить кривую (кардиоиду) , а – постоянная.

Решение. Придадим различные значения и вычислим, пользуясь уравнением кривой, соответствующие значения . Результаты занесем в таблицу:

R	2

Для удобства взяты только те значения , для которых вычисляется просто, вычисления приведены с точностью до 0, 1.

Нетрудно заметить, что и, значит, кривая симметрична относительно полярной оси. Теперь по точкам построим кривую:

Задачи

1. Построить точки, заданные обобщенными полярными координатами: A (2, ), B (− 1, ), C (− ), D (− 3, ).

2. Найти полярные координаты точек, симметричных точкам

A (2, ), B (3, ), C () относительно: а) полюса; б) относительно полярной оси.

3. Даны полярные координаты точек A (2, ), B (), D (3, ). Определить их координаты в присоединенной прямоугольной декартовой системе координат.

4. В полярной системе координат даны точки A (8, − ) и B (6, ). Вычислить полярные координаты середины отрезка, соединяющего точки A и B.

5. В полярной системе координат даны точки M (r ₁, θ ₁) и N (r ₂, θ ₂). Определить расстояние MN.

6. В полярной системе координат даны две смежные вершины квадрата A (12, − ), B (3, ). Определить его площадь.

7. Одна из вершин треугольника находится в полюсе O, а две другие суть точки A (r ₁, θ ₁), B (r ₂, θ ₂). Вычислить площадь треугольника OAB.

8. Вычислить площадь треугольника, вершины которого A (3, ), B (8, ), C (6, ) заданы в полярных координатах.

9. В полярной системе координат даны точки M ₁(1, 0), M ₂(2, 0), M ₃(2, ), M ₄(, ), M ₅(1, ). Установить, какие из этих точек лежат на линии, определенной в полярных координатах уравнением r = 2 cos θ. Какая линия определяется данным уравнением? Изобразите ее на чертеже.

10. В полярной системе координат вывести уравнение окружности, которая имеет центр C (ρ ₀, φ ₀) радиуса r.

11. Прямая, перпендикулярная полярной оси, отсекает на ней отрезок, равный трем. Составить уравнение этой прямой в полярных координатах.

12. Даны уравнения линий в полярных координатах:

1) r = 2 R cos θ; 2) r = 2 R sin θ; 3) r = 2 p sin θ. Определить, какая фигура задана каждым из уравнений и построить ее схематический чертеж.

Домашнее задание

1. В полярной системе координат даны две вершины правильного треугольника A (4, − ) и B (8, ). Определить его площадь.

2. Построить на чертеже следующие спирали Архимеда:

1) r = 2 θ; 2) r = − .

3. В полярных координатах составить уравнение фигуры, каждая точка которой удалена от полярной оси на 5 единиц.

Тема 2.4. Ориентация плоскости.