Понятие напряжения

– нормальное напряжение

– касательное напряжение

[ σ _n] = Н/м² = Па

[ τ _n] = Н/м² = Па

Для того чтобы иметь полное представление о напряжениях, действующих в окрестности рассматриваемой точки, необходимо выделить вокруг нее бесконечно малый объем, увязав его формулу с принятой системой координат.

Для декартовой системы координат это будет куб с гранями, параллельный координатным плоскостям. Напряженное состояние выбранной точки тела исчерпывающим образом характеризуется нормальными и касательными напряжениями σ _x, σ _y, σ _z – нормальные напряжения в направлении осей x, y, z. Касательное напряжение, вектор которого находится в плоскости, перпендикулярной оси обозначенной первой буквой индекса и направленная в сторону оси, обозначенной второй буквой индекса.

Касательные напряжения обладают свойством парности:

τ _xz = τ _zx; τ _yx = τ _xy; τ _zy = τ _yz.

Как правило, прочностной расчет детали стремятся построить так, чтобы одна из осей системы координат совпадала с направлением действия максимальных напряжений. Если это удастся, то напряжениями, действующими по другим осям – пренебрегают, и закон Роберта Гука приобретает простейшую формулу:

σ = Е ∙ ε,

где Е – модуль упругости первого рода (модуль Юнга), [Н/м²],

ε – относительная деформация. ε = ∆ L / L ₀.

Если напряжениями, действующими по другим осям пренебречь нельзя, то закон Гука усложняется.

Для двумерного напряженного состояния (тонкий диск, вращающийся с большой угловой скоростью) нужно записать:

где ε _x, ε _y – относительные деформации в направлении осей

σ _x, σ _y – нормальные напряжения в направлении осей x, y;

Е – модуль Юнга;

μ – коэффициент Пуассона (коэффициент поперечной деформации). μ ≈ 0, 3.

Закон Гука для трехмерного напряженного состояния:

где ε _x, ε _y, ε _z – относительные деформации в направлении осей x, y, z;

γ _{x, y}, γ _{y, z}, γ _{z, x} – деформации сдвига в плоскостях, параллельных плоскостям xy, yz, zx;

τ _xy, τ _yz, τ _zx – касательные напряжения в соответствующих плоскостях;

Е – модуль Юнга, характеризующий способность материала сопротивляться растяжению (сжатию);

G – модуль упругости второго рода (модуль сдвига), характеризующий жесткость материала при сдвиге;

μ – коэффициент поперечной деформации.