Изгибающие моменты и напряжения изгиба от газодинамических сил

Для расчета напряжений используется стержневая модель лопатки. Перо лопатки считается стержнем переменного сечения, консольно закрепленным в диске. Распределенное по поверхности пера давление газа приводится к продольной оси стержня в виде интенсивности газовой нагрузки dP / dr, где P – газовая нагрузка (погонной нагрузки, приведенной к единице длины пера), изменяющейся только по высоте лопатки.

Интенсивность газовой нагрузки Р имеет две составляющие: осевую Р _а и окружную Р _u.

На рис. 2.6. изображены усилия, действующие на элементы рабочей лопатки компрессора и турбины при их обтекании потоком воздуха (газа).

Изменяющийся закон сохранения количества движения для движущей среды, получим выражение для интенсивности осевой (Р _а) и окружной (Р _u) нагрузок.

(1)

(2)

где G – массовый расход воздуха [кг/с];

p ₁, p ₂ – давление газа перед и за лопаткой;

с _1а, с _2а – осевые составляющие абсолютной скорости газа перед лопаткой и за лопаткой;

с _1u, с _2u – окружные составляющие абсолютной скорости газа;

z – количество лопаток;

R ₁, R ₂ – минимальный (R ₁) и максимальный (R ₂) радиусы пера лопатки;

R _ср =(R ₁+ R ₂)/2 – средний радиус лопатки.

Осевая нагрузка для рабочих лопаток компрессора направлена против потока воздуха для лопаток турбины по потоку газа. Направление окружной нагрузки для рабочих лопаток турбин совпадает с направлением вращения ротора, для компрессора – противоположно направлению его вращения.

В приближенных расчетах интенсивность газовой нагрузки можно принять постоянной по высоте лопатки и равной интенсивности на среднем радиусе. Тогда формулы для Р _а и Р _u упрощаются и принимают вид:

(3)

(4)

Схема нагружения рабочих лопаток газодинамическими силами в плоскостях ro _x, ro _y показана на рис. 2.7.

Изгибающие моменты в произвольном сечении определяются интегрированием элементарных изгибающих моментов по радиусу лопатки. В плоскости вращения ro _y изгибающий момент от газодинамических сил обозначим , в плоскости ro _x . По правилу знаков для изгибающих моментов положительным считается момент, стремящийся повернуть систему по часовой стрелке, если смотреть в направлении соответствующей оси.

В произвольном сечении лопатки с радиусом r выделим элемент пера длиной (dr). Изгибающие моменты, которые создает этот элемент в сечении с радиусом R

(5)

(6)

Изгибающие моменты от всех элементов пера лопатки определяются интегрированием:

(7)

(8)

Характер распределения изгибающих моментов показан на рис. 2.7. Максимальное значение приходится на корневое сечение.

Для определения напряжения изгиба в лопатках необходимо перейти к главным центральным осям рассматриваемого сечения (рис. 2.8.).

Ось минимальной жесткости сечения ξ направлена параллельно хорде сечения лопатки, ось максимальной жесткости η – перпендикулярно ей.

Угол между осью вращения ротора и осью минимальной жесткости обозначим β. Положительное направление оси ξ от входной кромки к выходной, оси η – от корыта к стенке лопатки. Максимальные напряжения изгиба возникают в точках профиля наиболее удаленных от главных центральных осей, в точках А и С, выходной и входной кромках лопатки и в точке В на спинке лопатки (рис. 2.8.).

Изгибающие моменты относительно главных центральных осей определяются путем проекции изгибающих моментов М _{г x} и М _{г y} на оси ξ и η.

(9)

(10)

В формулах (9) и (10) знаки соответствуют случаю нагружения рабочей лопатки в турбине. Для рабочей лопатки компрессора соответствующие знаки получаются, если изгибающие моменты подставить со своими знаками.

Напряжения изгиба в характерных точках профиля А, В и С определяются по формулам сопромата для случая косого изгиба через составляющие изгибающего момента М _{г ξ} и М _{г η} .

W – момент сопротивления инерции сечения J _ξ и J _η и координаты этих точек относительно осей ξ и η.

Для точки А выражение для расчета напряжений изгиба от газодинамических сил имеет вид:

(11)

Знак минус перед вторым со слагаемым означает, что положительный момент M _{г η} в точке А с положительной координатой вызывает напряжение сжатия. Аналогично выглядит выражение для напряжения изгиба в точках В и С.

Моменты инерции сечения лопатки определяются по следующим формулам:

dF = b ∙ dη

Поскольку линии, ограничивающие поперечные сечения лопатки, как правило, имеют сложную форму и не всегда могут быть описаны аналитической формой, моменты инерции определяются численным интегрированием с использованием координат точек профиля.

Момент инерции J _ξ относительно оси ξ пропорционален третьей степени толщины профиля; η – третьей степени хорды профиля. Поскольку толщина профиля значительно меньше его хорды, первое слагаемое в формуле (11) заметно больше второго. Напряжения газодинамических сил, действующие на рабочие лопатки турбины и компрессора, показаны на рис. 2.10. из рисунки видно, что и в лопатках турбины и в лопатках компрессора газодинамические силы вызывают появление растягивающих напряжений на входной и выходной кромках (А и С) и напряжения сжатия на спинках в точке В. Как и изгибающие моменты напряжения изгиба в рабочих лопатках максимальны по абсолютному значению вблизи корневого сечения (рис. 2.10.в). Периферийные сечения от напряжений изгиба разгружены.

– формула для расчета напряжений при косом изгибе.