Нормальное распределение

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х ₁наблюдалась n ₁раз, х ₂ – n ₂, х ₃ – n ₃ раз, а S n_i = n – объем выборки. Наблюдаемые значения х_i – варианты, а последовательное написание их в возрастающем порядке – вариационный ряд. Числа наблюдений n_i называются частотами, а их отношение к объёму выборки – относительными частотами.

Перечень вариант и соответствующих им частот, или относительных частот называется статистическим распределением выборки или зако­ном распределения случайной величины. Собственно законом распре­деления случайной величины называется всякое соотношение, устанав­ливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Простейшей формой задания этого закона является таблица, в ко­торой перечислены значения случайной величины и соответствующие им частоты, относительные частоты или вероятности. Такую таблицу называют рядом распределения (табл. 4.1).

Таблица 4.1

Ряд распределения

Для наглядности строят различные графики распределения. В случае геометрического представления ряда распределения дискретных слу­чайных величин получаем многоугольник распределения (рис. 4.1) или полигон частот.

х ₁ х ₂ х ₃ х ₄ х ₅ х ₆

Рис. 4.1. Многоугольник распределения

Для его построения на оси абсцисс откладывают варианты х_i, а на оси ординат – соответствующие им относительные частоты w_i, Точки
(х_i, w_i,) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот. Много­угольники распределения могут быть различными по форме, что еще раз подчеркивает случайность явления (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Многоугольник дискретного распределения (а); кривая непрерывного распределения (б)

Если многоугольник распределения (кривая распределения) имеет более одного максимума, распределение называется «полимодаль­ным». Иногда встречаются распределения, обладающие посередине не максимумом, а минимумом. Такие распределения называют «антимо­дальными» (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Антимодальное распределение (а и б см. пояснения к рис. 4.2)

Два последних термина см. в разд. 3, где кроме важнейших из харак­теристик положения – математического ожидания, упоминались и дру­гие, в частности мода (рис. 4.4) и медиана (рис. 4.5).

Рис. 4.4. Мода случайной величиныРис. 4.5. Медиана распределения

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное зна­чение. В общем случае мода и математическое ожидание случайной ве­личины не совпадают. В частном случае, когда распределение является симметричным и модальным (т. е. имеет моду) и существует математи­ческое ожидание, то оно совпадает с модой и центром симметрии рас­пределения.

Часто применяемой еще одной характеристикой положения – медиа­ной (рис. 4.5), пользуются обычно только для непрерывных случайных величин, хотя формально ее можно определить и для дискретной величины.

Медианой случайной величины х называется такое число Me, для которого

Р (Х < Ме) = Р (Х > Ме),

т. е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Me. Геометрическая медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.

В случае симметричного модального распределения медиана совпа­дает с математическим ожиданием и модой.

Распределение случайных величин является математической моде­лью вероятностного процесса, отличающегося тем, что элементарные исходы могут проявляться в самой разнообразной форме по численному значению и частоте.

Математической модели может быть подобрана физическая модель, а для нее в свою очередь – математическая модель распределения.

Итак, ряд распределения является законом распределения для дис­кретной (непрерывной) случайной величины. Простейшим примером дискретного распределения является ситуация с п равновероятностны­ми исходами. Физической моделью такого распределения являются ис­ходы бросания монеты, кубика и т. д.

Но для непрерывной величины ряда не существует. В то же время различные области возможных значений случайной непрерывной вели­чины не являются одинаково вероятными, поэтому и для непрерывной величины существует также распределение вероятностей.

В случае непрерывного признака для геометрического представле­ния целесообразно строить гистограмму (рис. 4.6).

Рис. 4.6. Гистограмма частот

Для этого весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частных интервалов длиной D х, находят для каждого частного интервала п_i – сумму частот вари­ант, попавших в i -й интервал. Гистограммой частот называют ступенча­тую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых слу­жат частные интервалы длиной D х, а высоты равны (плотность частоты). Площадь такого прямоугольника равна , а сумма площадей всех прямоугольников (площадь гистограммы) . В слу­чае использования относительных частот или вероятностей площадь гистограммы будет равна единице.

Вероятность непрерывного события х есть функция от х. Эта функ­ция называется функцией распределения случайной величины х и обо­значается F (x). Функцию распределения называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения величин

. (4.1)

Функция распределения непрерывной случайной величины F (х), оп­ределяющая вероятность того, что случайная величина х принимает ка­кое-нибудь значение в пределах интервала а, b, определится как

.

Интегральная кривая этой функции (рис. 4.7) монотонно возрастает от нуля (при х = – ¥) до единицы (при х = ¥). Обратная функция дает значение х, соответствующее заданной вероятности не­превышения Р (х). Эти значения называют квантилями вероятности Р (х).

Рис. 4.7. Интегральная функция распределения

Функция является производной функции распределения F (х)и характеризует плотность, с которой распределяются значения случай­ной величины. Эта функция называется плотностью распределения или плотностью вероятности. Иногда её называют функцией распределения, или дифференциальным законом распределения случайной величины.

Плотность распределения является пределом отношения вероятно­сти события, состоящего в том, что непрерывная случайная величина принимает значения, лежащие в заданном малом интервале, к длине интервала, когда эта длина стремится к нулю.

Кривую, изображающую плотность распределения случайной вели­чины на графике дифференциальной функции распределения (рис. 4.8), называют кривой распределения. Кривые распределения могут иметь чрезвычайно разнообразную форму.

Рис. 4.8. Плотность распределения

Часто наблюдаются кривые с вершинами, сдвинутыми вправо
(рис. 4.9, а) или влево (рис. 4.9, б). В первом случае они имеют отрицательную асимметрию, а во втором – положительную.

Отрицательная асимметрия свидетельствует о том, что преобладают варианты с большими значениями, а варианты с малыми значениями встречаются реже. Наоборот, положительная асимметрия свидетельствует о преобладании вариант с малыми значениями, но реже встречаются варианты с большими значениями.

Показатель асимметрии вычисляют по формуле

. (4.2)

Также часто встречаются кривые с приподнятой вершиной (рис. 4.9, в). Такие кривые распределения называются кривыми распределения с положительным эксцессом. Положительный эксцесс свидетельствует о скоплении большинства вариант в середине ряда, что дает характерный резкий подъём кривой в центре. Более или менее равномерное распределение вариант или скопление их по краям придают кривой распределения плосковершинную, двух-, иногда многовершинную форму (рис. 4.9, г, д, е). Такие кривые называются кривыми распределения с отрицательным эксцессом. Показатель эксцесса вычисляют по формуле

. (4.3)

Симметричные кривые распределения, не имеющие ни положительного, ни отрицательного эксцесса, называются кривыми нормального распределения (рис. 4.9, ж).

Дифференциальная кривая вместе с осью абсцисс ограничивает площадь, равную единице. Заштрихованная площадь, ограниченная ординатами, проходящими через точки х_а и х_b, определяет вероятность попадания в интервал между х_а и х_b (рис. 4.10).

Функция распределения представляет собой некоторую абстрактную математическую модель, при помощи которой описывают случайные экспериментально наблюдаемые величины.

Аналитические выражения функции распределения содержат в себе параметры распределения. Если известен закон распределения случайной величины, то она может быть полностью охарактеризована численными значениями закона её распределения.

Рис. 4.9. Кривые распределения: а – с отрицательной асимметрией;

б – с положительной асимметрией; в – с положительным эксцессом;

г, д – с отрицательным эксцессом; е – с отрицательным эффектом в

высшей его форме; ж – кривая нормального распределения

Заштрихованная на рис. 4.10 площадь равна вероятности того, что случайная величина х заключена в пределах (а, b), т. е.

. (4.4)

В большинстве случаев, когда имеет место большое количество измерений ( > 50) случайной величины , её распределение соответствует нормальному закону распределения, именуемому законом Гаусса. Его главной особенностью является то, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения вероятности

. (4.5)

Графически нормальный закон представлен симметричной относительно ординаты колоколообразной кривой (рис. 4.11) с двумя точками перегиба при , асимптотически приближающейся к оси абсцисс.

Рис. 4.11. График нормального распределения частот

Основная масса результатов измерений группируется около среднего значения . На участке оказывается 68, 3% всех измерений (68, 3 % – это доля площади, ограниченная кривой распределения и этим интервалом). В границах размещается 95, 4 % всех измерений, а в границах – 99, 7 %.

Параметрами нормального распределения являются и . Среднее арифметическое (математическое ожидание) является центром рассеяния и определяет положение распределения на оси абсцисс, а параметр определяет форму кривой распределения. Наибольшая ордината кривой распределения обратно пропорциональна . Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, всегда равна 1, то при увеличении кривая становится плоской, и наоборот.

В практических расчетах обычно используют нормированное распределение, которое получается при переходе от величины х к её функции

. (4.6)

Тогда функция примет вид

или (4.7)

(4.8)