Статистики

Первым этапом решения большинства технологических задач с по­мощью математико-статистических методов является анализ законо­мерностей распределения технологических факторов. На этом этапе ис­следователь сталкивается со следующими проблемами:

– определением по экспериментальным данным закона распределе­ния случайной величины. Это необходимо для выбора того или иного корректного метода статистического решения технологической задачи;

– расчетом числовых характеристик распределения и установкой до­верительных границ, что проводится во всех случаях обработки опытно­го или архивного материала;

– сравнением числовых характеристик распределения с проектными и нормативными величинами или такими же числовыми характеристи­ками других эмпирических распределений; сравнительный анализ дает технологическую информацию, необходимую при анализе производства;

– определением показателей качества готовой продукции, их допус­ков и минимально возможных величин, а также разработкой методов статистического контроля качества продукции.

В дальнейшем последовательно рассмотрим решение этих вопросов.

Как уже отмечалось, событие называется случайным, если оно при осуществлении определенной совокупности условий S может либо про­изойти, либо не произойти. В дальнейшем будем считать: если испыта­ние произведено, то событие рассматривается как результат испытания.

Пример 2.1. В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета – событие.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Случайными величинами являются характеристики свойств строи­тельных материалов, которые при неоднократном испытании получают­ся разными. Случайными явлениями называют такие технологические операции, которые при неоднократном воспроизведении протекают все­гда по-разному. Случайные величины могут быть дискретными и непре­рывными. Обратимся к примерам 2.2 и 2.3.

Пример 2.2. Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значе­ния: 0, 1, 2,......., 100.

Пример 2.3. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит и от установки прицела и от многих других факторов: силы и направления ветра, температуры воздуха, полета над водой или над сушей, которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а – b).

Дискретной (прерывной) величиной называют случайную величину, которая принимает отдельные изолированные возможные значения с определенными вероятностями (в примере 2.2: 0, 1, 2,......, 100). Число возможных значений дискретной случайной величины может быть ко­нечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может прини­мать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежут­ка. В примере 2.3 случайная величина могла принять любое из значений промежутка (а – b). Здесь уже нельзя отделить одно возможное значе­ние от другого промежутком, не содержащим возможных значений слу­чайной величины. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины – бесконечно.

Приняв это не совсем строгое определение, можно к непрерывным случайным величинам отнести результаты контроля прочности бетона на заводе при производстве каких-либо изделий в течение контролируе­мого промежутка времени; влажность пиломатериалов, подвергаемых сушке и др.

Математическая статистика, опираясь на теорию вероятностей, изу­чает совокупности случайных величин и явлений. Именно в совокупности, массовости проявляются определенные закономерности, своего ро­да устойчивые результаты.

Задачами математической статистики являются определение спосо­бов сбора и группировки статистических сведений, полученных в ре­зультате наблюдений или испытаний, и разработка методов описания и анализа статистических данных в зависимости от целей исследования.
К ним относятся:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид кото­рого неизвестен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и т. д.

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределе­ния или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неоп­ределенности.

На практике, если совокупность содержит очень большое число объ­ектов, провести сплошное обследование физически невозможно. Кроме того, если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обсле­дование практически не имеет смысла. Невозможно, например, довести до разрушения все плиты перекрытий, выпускаемые заводом железобе­тонных конструкций, или все пролетные строения. Даже если не дово­дить все изделия до разрушения, на их испытание потребуется много времени и человеческого труда. В таких ситуациях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Отобранную для испытаний совокупность изделий называют выбо­рочной совокупностью или простой выборкой.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из ко­торой производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной сово­купности N = 1000, а объем выборки п = 100.

Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необхо­димо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. То есть вы­борка должна правильно представлять пропорции генеральной совокуп­ности или быть репрезантивной (представительной).

В соответствии с законом больших чисел можно утверждать, что вы­борка будет репрезантивной, если ее осуществить случайно:

– каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности;

– все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку. Часто генеральная совокупность содержит конечное число объектов.

Однако, если это число достаточно велико, то иногда в целях упрощения вычислений, или для облегчения теоретических выводов, допускают, что генеральная совокупность состоит из бесчисленного множества объек­тов. Такое допущение оправдывается тем, что увеличение
объема гене­ральной совокупности (достаточно большой объем) практически не ска­зывается на результатах обработки данных выборки.

Задача статистического анализа заключается в том, чтобы оценить параметры генеральной совокупности по результатам случайной выборки.

Будем далее обозначать случайные величины прописными буквами X, Y, Z а их возможные значения – соответствующими строчными бук­вами x, y, z. Например, если случайная величина X имеет три возмож­ных значения, то они будут обозначены так: х ₁, х ₂, х ₃. Параметры гене­ральной совокупности обозначают дополнительным индексом «нуль» в отличие от параметров выборочной совокупности – X₀, Y₀, Z₀.

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение дискретной величины.

2. Дайте определение непрерывной величины.

3. Что изучает математическая статистика?

4. Что называется генеральной совокупностью?

5. Что называется выборочной совокупностью?

6. В чем заключается задача статистического анализа?

& Рекомендуемая литература [1, 4, 10, 11, 22].