Параметры математической статистики

При изучении какого-либо свойства древесины, бетона или другого материала часто приходится сталкиваться с тем фактом, что величины, получаемые при их измерении, не одинаковы, а изменяются в различ­ных пределах, т. е. выражаются не одним каким-нибудь числом, а рядом более или менее отличающихся друг от друга чисел.

Например, при определении влажности контрольных досок в штабе­ле были получены следующие числа, %: 19, 8; 17, 4; 18, 3; 19, 0; 18, 9. Каждое из этих чисел есть вариант, а в целом они составляют вариационный ряд, или статистическую совокупность.

Так как составить ясное представление об изучаемом свойстве по целому ряду различных чисел не представляется возможным, приходит­ся пользоваться средними величинами.

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности. В средних величинах погашаются индивидуаль­ные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоя­тельствами. Все средние величины делятся на два больших класса:

• степенные средние;

• структурные средние.

К степенным средним относятся наиболее часто применяемые виды, такие как средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя арифметическая, средняя квадратическая, средняя кубическая.

В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.

1. Среднее (или арифметическое среднее) п наблюдаемых значе­ний величин определяется выражением

. (3.1)

Для генеральной совокупности среднее арифметическое Х₀ называ­ется математическим ожиданием, которое в литературе обозначается ещё буквой М.

2. Дисперсия. Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака х вокруг среднего значения , вводят свод­ную характеристику – выборочную дисперсию. Для п значений величи­ны х дисперсию определяют из выражения

. (3.2)

В знаменателе формулы стоит (п – 1), а не п потому, что среднее арифметическое для выборки отличается от среднего арифметического генеральной совокупности. Знаменатель (п – 1) представляет собой чис­ло степеней свободы. Его определяют как число независимых измерений минус число тех связей, которые наложены на эти измерения при даль­нейшей обработке материала. При определении выборочной дисперсии по независимым измерениям имеем (п – 1) степеней свободы, так как при подсчете среднего арифметического, которое входит в состав дисперсии, на результаты измерений была наложена одна связь вида

.

3. Среднее квадратичное отклонение. Среднее арифметическое дает представление о средней величине изучаемого признака или свой­ства, но его изменчивости, пределов его колебаний не выражает. Вели­чиной, характеризующей среднюю изменчивость изучаемого свойства, является среднее квадратическое отклонение s _х. Средним квадратическим отклонением называют положительное значение корня квадратного из дисперсии S =

. (3.3)

Среднее квадратическое называют ещё стандартным отклонением, ошибкой или просто стандартом и выражают в единицах того же наиме­нования, что и среднее арифметическое. Знаки ± показывают, что от­клонения от среднего арифметического могут быть как в ту, так и в другую сторону.

Среднее квадратическое отклонение является одной из наиболее важных статистических величин, с помощью которой при нормальном распределении можно судить о принадлежности того или иного наблю­дения к известному уже ряду наблюдений.

Теория вероятностей доказывает, что в пределах Х₀ ± s _х будет на­ходиться 68, 3 % всего числа вариант (683 случая из тысячи). В пределах Х₀ ± 2s _х будет находиться 95, 4 % всех вариант и в пределах Х₀ ± 3s _х практически уложится всё количество вариант (99, 7 % или 997 случаев из тысячи) – правило трех сигм (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Распределение вариант при различных отклонениях от среднего арифметического

Более подробное процентное распределение числа вариант при раз­личных отклонениях от среднего арифметического приведено в табл. 3.1 (для свойств, вариационные ряды которых подчиняются закону нор­мального распределения).

Таблица 3.1

Процентное распределение количества вариант (величины
площади, ограниченной нормальной кривой, для различных
отклонений от среднего арифметического)

4. Вариационный коэффициент. Средние колебания отдельных значений какого-либо варьируемого признака или свойства от среднего арифметического хорошо характеризуются средним квадратическим от­клонением. Однако при сравнении изменчивости двух или нескольких изучаемых свойств абсолютное значение сигмы, как число именованное, не дает возможности судить, какое из них более изменчиво и какое ме­нее. Поэтому при решении вопроса об изменчивости того или иного свойства лучше вычислить относительную изменчивость этого свойства или вариационный коэффициент, или коэффициент вариации n

. (3.4)

5. Средняя ошибка. Величину среднего арифметического всегда находят из сравнительно небольшого количества наблюдений, так как измерить все отдельные значения интересующего свойства невозможно и не нужно. Поэтому, определив среднее арифметическое для какого-либо свойства материала, нельзя быть уверенным, что полученный ча­стный результат точно характеризует его среднюю величину у всех дру­гих еще не обследованных объектов.

В этом случае хорошо иметь дополнительную характеристику, которая позволила бы по частному значению среднего арифметического судить об общей величине среднего арифметического изучаемого свойства.

Такой характеристикой является средняя ошибка среднего арифме­тического. Её обозначают т

. (3.5)

Средняя ошибка выражается в единицах того же наименования, что и среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение.

Зная среднее арифметическое и его ошибку, можно судить о надёж­ности полученной средней величины изучаемого признака.

Средняя ошибка дает возможность сравнивать между собой отдель­ные средние арифметические какого-либо признака и судить о том, дос­товерна ли разница между двумя средними арифметическими или она является случайной.

Достоверность разницы между средними арифметическими подсчи­тывают по эмпирической формуле (с поправкой на малое число наблю­дений):

, (3.6)

где – поправка на малое число наблюдений.

Данная формула применима при 5 наблюдениях и более, но при
п ³ 125 поправку на число наблюдений не делают, так как она становит­ся незначительной по своей величине.

Если величина левой части неравенства равна или больше правой, то различие между М ₁ и М ₂достоверно, если же она меньше, то раз­личие между М ₁ и М ₂недостоверно. Вероятность различия, т. е. сте­пень приближения к достоверности может быть оценена по табл. 3.1. В гр. 1 табл. 3.1 находим величину, равную отношению , а во
второй – количество вариант, %, показывающее сколько раз можно ожи­дать повторения полученной разницы при повторном опыте над тем же материалом. В формуле (3.6) за М ₁ принимаем большее по абсолютной величине среднее арифметическое.

6. Показатель точности. Подобно вариационному коэффициенту средняя ошибка может быть выражена в процентах от соответствующе­го ей среднего арифметического. Полученная величина называется по­казателем точности

. (3.7)

Чем меньше показатель точности, тем надежнее результаты иссле­дования. Например, принято считать, что в области лесной промышлен­ности достаточная надежность эксперимента будет обеспечена в том случае, если показатель точности не превышает 5 %.

7. Определение числа наблюдений (численности выборки). При по­становке опытов большую практическую важность представляет вопрос о количестве необходимых наблюдений, так как большое число наблюде­ний связано со значительными затратами средств и времени, а во мно­гих случаях и вовсе невыполнимо. Но при небольшом числе наблюдений результаты опыта могут оказаться малонадёжными или даже недосто­верными.

Поэтому, уже разрабатывая программу выборочного наблюдения, сразу задают величину допустимого коэффициента вариации n, показа­тель достоверности t и показатель требуемой точности D

. (3.8)

Величина n обычно устанавливается на основании прежних иссле­дований. Если таких данных нет, то в первых опытах его назначают из общих соображений, а затем уточняют на основе полученных результатов. Показатель достоверности t принимается по табл. 3.2.

Таблица 3.2

Значения показателя достоверности t

Точность назначается в зависимости от изучаемого свойства и кате­гории испытаний.

Вероятность результата оценивается количеством случаев, подтвер­ждающих правильность вывода. В практике экспериментальных работ обычно ограничиваются тремя градациями вероятности:

а) Р_b = 0, 95, когда правильность вывода не подтверждается только
5 случаями из 100. Такое доказательство принимается как вывод, лежа­щий «на грани достоверности», и практически считается достаточным при оценке результатов не очень ответственных, предварительных ис­пытаний;

б) Р_b = 0, 99, когда правильности вывода противоречит 1 случай из 100. Статистический вывод при такой вероятности считается широко распро­странённым критерием надежности;

в) Р_b = 0, 999, когда правильности вывода противоречит 1 случай из 1000. При такой вероятности вывод практически можно считать критери­ем максимальной строгости. Такая вероятность применима при оценке достоверности наиболее ответственных испытаний.

Пример 3.1. Определить статистические параметры случайной вы­борки величины х – прочности бетона на сжатие в возрасте 28 суток 24, 8; 28, 1; 29, 8; 30, 4; 31, 2; 32, 2; 34, 8; 35, 8 МПа.

Среднее арифметическое выборки

30, 3 МПа.

Дисперсия

13, 385.

Среднее квадратическое

МПа.

Коэффициент вариации

.

Средняя ошибка среднего арифметического

МПа.

Показатель точности

.

Какое количество образцов в выборке будет достаточным для обес­печения вероятности р ₁ = 0, 95; р ₂ = 0, 99; р ₃ = 0, 997 при достигнутых
коэффициенте вариации и точности.

Для названных вероятностей по табл. 3.2 определяем показатель достоверности t

t ₁ = 1, 96; t ₂ = 2, 58; t ₃=3;

;

;

.

Кроме названных характеристик вариационного ряда, определяют еще моду и медиану.

Медианой т_е называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные числу вариант. Если число вариант нечетно,
т. е. n = 2к + 1, то ; при четном n = 2к медиана т_е = (х_к + х_{к+ 1})/2.

Например, для данного ряда медиана равна 30, 4 МПа.

Модой М ₀ называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.

Например, для ряда

варианта.................1 4 7 9

частота...................5 1 9 3

мода равна 7.

Вопросы для самоконтроля

1. Назовите степенные средние.

2. Назовите структурные средние.

3. Как определить среднее арифметическое?

4. Что называется степенью свободы?

5. Как вычислить дисперсию и среднее квадратическое?

6. Как определить ошибку среднего арифметического?

7. Назовите основные параметры математической статистики?

8. Как определить необходимое число наблюдений?

& Рекомендуемая литература [1, 4, 10, 11, 22].