События. Свойства

Наблюдаемые нами события (явления) можно разделить на досто­верные, невозможные и случайные.

Под событием в теории вероятностей понимается всякий факт, кото­рый в результате испытания может произойти или не произойти. При этом рассматриваются массовые испытания, т. е. испытания, происхо­дящие при неизменных основных условиях неоднократно.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. На­пример, если смешать цемент, воду, песок и щебень при температуре 20 °С, то через некоторое время получим искусственный камень – бетон. Получение бетона – событие достоверное, а названные материалы, темпе­ратура и время твердения составляют совокупность условий S.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий. Например, если в пре­дыдущем примере из материалов убрать цемент или воду, событие –получение бетона – не произойдет.

Случайным (или вероятным) называют событие, которое при осуще­ствлении совокупности условий может произойти, либо не произойти. В приведенном примере случайным будет получение бетона прочностью 20 или 25 МПа.

Каждое случайное событие есть следствие действий очень многих случайных причин. Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их велико и закон их действия неизвестен.

По-иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т. е., если речь идет о массовых, однородных случайных событиях. Оказывается, достаточно большое число однородных случай­ных событий подчиняется определенным закономерностям, а именно, вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей занимается теория вероятностей.

Различные события обладают различной степенью вероятности. По­нятие вероятности события в своей основе связано с понятием частоты события. В каждом конкретном опыте вероятность события А есть Р(А)

частота события, или статистическая вероятность, которая представля­ет отношение числа благоприятных случаев т (когда событие произош­ло) к общему числу случаев п (когда событие могло бы произойти).

Причем предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу.

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Например, образец гранодиорита не может быть одновременно образцом базальта.

События совместны в том случае, если появление одного из них в данных условиях не исключает появление другого. Например, появле­ние бетона класса В30 по прочности на сжатие совместимо с получени­ем тем же бетоном марки W-8 по водонепроницаемости или марки F-200 по морозостойкости.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испы­тания появляется хотя бы одно из них. То есть, появление хотя бы одно­го из событий полной группы есть достоверное событие.

Например, для изготовления конструкции объемом 16 м³ потребова­лось неоднократно пользоваться бетономешалкой объемом 700 л. Каж­дый раз, загружая 4 компонента (цемент, воду, песок, щебень), получа­ем бетонную смесь, постепенно затвердевающую и приобретающую требуемые свойства. То есть, каждый замес (испытание) приводит к достоверному событию.

События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Из определения вероятности вытекают следующие её свойства.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный ис­ход испытания благоприятствует событию. В этом случае т = п, следовательно,

. (1.1)

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов не благоприятствует событию. В этом случае т = 0, следова­тельно,

. (1.2)

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае
0 < т < п, значит

, следовательно,

. (1.3)

Действительно, из приведенных примеров вероятность появления бетона прочностью 20 МПа при смешении компонентов будет меньше 1, но больше 0.

То есть, вероятность – мера объективной возможности случайного события. Она отражает определенную, независимую от проводимого наблюдения структуру самого процесса, в котором наблюдается соот­ветствующее событие, т. е. ее значения обусловлены реальным ком­плексом условий.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

. (1.4)

Наряду с понятием вероятность события используется понятие отно­сительная частота.

Относительной частотой события называют отношение числа испы­таний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произ­веденных испытаний. Таким образом, относительная частота события W(A) определяется из формулы

, (1.5)

где т – число появлений события; п – общее число испытаний.

Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты, за­ключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания произ­водились в действительности, определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически, т. е. веро­ятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта.

В практике испытаний часто требуется определить вероятность со­бытий, экспериментальное воспроизведение которых затруднено или невозможно. В этом случае используются не непосредственные прямые методы, а косвенные, позволяющие по известным вероятностям одних событий определять вероятность других событий, с ними связанных.

Для этого используют основные теоремы теории вероятностей: сло­жения или умножения вероятностей.