Условия однозначности решения

Полученное дифференциальное уравнение Фурье описывает явление передачи теплоты теплопроводностью в самом общем виде. Для того, чтобы применить его к конкретному случаю, необходимо знать распределение температур в теле в начальный момент времени (начальные условия). Кроме того, должны быть известны геометрическая форма и размеры тела, физические параметры среды и тела, граничные условия, характеризующие распределение температуры на поверхности тела, или взаимодействие изучаемого тела с окружающей средой.

Все эти частные особенности совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности или краевыми условиями,

Начальные условия необходимы при рассмотрении нестационарных процессов и состоят в задании закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени. В общем случае начальное условие аналитически может быть записано в виде:

при =0 ;

при =0

Граничные условия характеризуют взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой. Задаются несколькими способами.

Граничные условия первого рода. Задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени, т.е.

,

К ним относятся задачи разогрева и охлаждения системы при заданном изменении температуры на границе и т.д.

Граничные условия второго рода. Задаются величины теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени:

=

= .

К ним относятся задачи нагрева системы внешним источником – нагревателем.

Граничные условия третьего рода. Задается температура окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Для описания процесса теплообмена между поверхностью тела и средой используется закон Ньютона–Рихмана. Согласно этому закону количество теплоты, отводимое единицей поверхности тела в единицу времени, пропорционально разности температур между поверхностью тела и окружающей средой ( > ).

= ( – ), (1.17)

где – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(м^{2 о}С).

Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Численно он равен количеству теплоты, отдаваемой (или воспринимаемой) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой в 1 ^оС.

Согласно закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени вследствие теплоотдачи (1.17), должно равняться количеству теплоты, подводимой к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутренних объемов тела (1.9)¸ т.е.

,

где n – нормаль к поверхности тела; «с»– индекс указывает на то, что температура и температурный градиент относятся к поверхности тела при n=0.

Окончательно граничные условия третьего рода можно записать в виде

– . (1.18)

Граничные условия четвертого рода. Их задание определяется условиями теплообмена системы тел или тела с окружающей средой по закону теплопроводности. Предполагается, что между телами осуществляется идеальный контакт и температуры соприкасающихся поверхностей одинаковы.

При этом имеет место равенство тепловых потоков, проходящих через поверхность соприкосновения, т.е.

. (1.19)