Общее дифференциальное уравнение теплопроводности

Для определения количества переданной теплоты необходимо знать коэффициент и значение температурного градиента, а следовательно, и распределение температур. Последнее относительно просто можно определить только для тел простой конфигурации – пластины, цилиндра, шара, куба и параллелепипеда. В общем же случае это распределение температур можно получить лишь в результате решения специального дифференциального уравнения теплопроводности. Это уравнение выводится на основании закона сохранения энергии, сочетаемого с законом Фурье.

Выделим мысленно внутри тела некоторый объем. В нем могут действовать источники тепловыделения. Согласно закону сохранения энергии количество теплоты , выделенное внутренними источниками, за вычетом количества теплоты , вытекшего сквозь поверхность наружу, идет на приращение внутренней энергии вещества в выделенном объеме:

= – . (1.10)

Пусть элементарный объем имеет вид прямоугольного параллелепипеда со сторонами (рис. 1.3). Если объемную мощность тепловыделения, т.е. количество теплоты, выделяющейся в единице объема вещества за единицу времени обозначить через , Вт/м³, то за время получим:

= . (1.11)

Рис. 1.3. Баланс теплоты нагрева элементарного параллелепипеда

Для вычисления рассмотрим направление, определяемое осью х.

В этом направлении через левую грань поступает внутрь выделенного объема количество теплоты

.

Через противоположную грань за тот же промежуток времени вытекает из объема количество теплоты

.

Результативное количество вытекающей теплоты составит:

.

Полное количество вытекающей из параллелепипеда теплоты во всех трех направлениях будет равно:

. (1.12)

Приращение внутренней энергии вычисляется через теплоемкость и изменение температуры:

. (1.13)

Здесь с в Дж/(кг ^оС), а в кг/м³.

Подставив выражения (1.11), (1.12) и (1.13) в (1.10), получим

. (1.14)

Введем в рассмотрение новую физическую характеристику вещества – коэффициент температуропроводности а, м²/с, определяемый из выражения

а

Он существенен для нестационарных тепловых процессов и характеризует скорость изменения температуры и является мерой теплоинерционных свойств тела. Скорость изменения температуры в любой точке тела будет тем больше, чем больше коэффициент температуропрводности. При прочих равных условиях выравнивание температур происходит быстрее в том теле, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности.

Уравнению (1.14) можно придать вид:

. (1.15)

Уравнение (1.15) и представляет собой классическую запись дифференциального уравнения теплопроводности (уравнение Фурье).

Физический смысл уравнения Фурье заключается в том, что им связывается пространственное распределение температуры с изменением ее во времени. Зная вблизи той или иной точки тела зависимость температуры от координат, можно предсказать, как быстро будет возрастать (или спадать) температура в этой точке при переходе к следующему моменту времени. Наиболее простое соотношение получается тогда, когда =0, т.е. когда внутреннее тепловыделение отсутствует. При этом, чем больше коэффициент а, тем пропорционально быстрее меняется во времени температура.

Применительно к пространственным задачам стационарной теплопроводности / =0 и при =0 уравнение Фурье приобретает вид:

= 0; .

В цилиндрических координатах уравнение (1.15) записывается в виде:

, (1.16)

где – радиус вектор; – полярный угол, – аппликата.