Передача теплоты теплопроводностью стенки

Рассмотрим решение задачи по определению стационарных температурных полей в плоских, цилиндрических и сферических однородных стенках при граничных условиях 1 рода (см. рис. 1.4.). На наружных поверхностях стенок поддерживаются постоянными температуры и , . Требуется определить также величину теплового потока, проходящего через стенку.

Дифференциальное уравнение теплопроводности запишется для данного случая в виде:

Рис. 1.4. К определению стационарных температурных полей

, (1.20)

где –коэффициент формы тела; для пластины, цилиндра и шара он равен

1, 2, 3; и –координаты внутренней и наружной поверхностей стенок.

Для цилиндрических и сферических стенок удобнее вместо х использовать радиусы. Однако этими обозначениями можно воспользоваться при рассмотрении конкретных формул.

Так как , то можно записать в полных производных:

. (1.21)

Так как , то

.

Используя метод разделения переменных, можно записать:

. (1.22)

Проинтегрировав уравнение (1.22), получим:

.

(1.23)

Граничные условия задачи:

при

при

если , то

С учетом первых граничных условий:

. (1.24)

С учетом вторых граничных условий:

. (1.25)

Из уравнения (1.25) выразим постоянную интегрирования .

.

Найдем вид функции :

для пластины

= ) ;

для цилиндра

;

для шара

Тогда будет равна:

для пластины

для цилиндра

для шара

Плотность теплового потока можно найти из выражения:

(1.26)

Уравнение (1.26) позволяет проанализировать распределение плотности теплового потока по толщине стенки.

Для плоской стенки , т.е. плотность не изменяется.

Для цилиндрической стенки а плотность изменяется по гиперболе.

Для сферической стенки а плотность изменяется по параболе второго порядка.

Для плоской стенки

Вт/м². (1.27)

Для цилиндрической стенки

Вт/м². (1.28)

Для сферической стенки

Вт/м². (1.29)

Полное количество передаваемой теплоты равно:

для плоской стенки

Вт; (1.30)

для цилиндрической стенки

Вт при ; (1.31)

для сферической стенки

Вт при . (1.32)

Здесь Вт/(м^2оС)–тепловая проводимость плоской стенки, а

(м^2оС)/Вт–тепловое или термическое сопротивление плоской стенки.

Для цилиндрической и сферической стенок тепловые сопротивления запишутся в виде:

и

Понятие теплового сопротивления позволяет получить уравнения для вычисления количества теплоты, передаваемой через многослойную стенку, т.е. стенку, состоящую из слоев различной толщины и имеющих различные значения коэффициентов теплопроводности.

Для плоской многослойной стенки

Вт. (1.33)

Для цилиндрической многослойной стенки

Вт. (1.34)

Для сферической многослойной стенки

Вт. (1.35)

В случае малой толщины цилиндрической стенки по сравнению с ее внутренним диаметром стенку можно рассматривать плоской. Тогда толщина стенки будет равна , а ее средняя поверхность . Подставляя эти значения толщины и поверхности в уравнение для плоской стенки (1.30), получим приближенную формулу для определения количества теплоты, передаваемой теплопроводностью через 1 м длины трубы.

Вт/м.

Величина получаемой ошибки по этой формуле по сравнению с величиной ошибки, полученной по более точной формуле, будет зависеть от отношения диаметров . При отношении < 1, 5 величина ошибки не превышает 1, 2%, а при отношении =2 она увеличивается почти до 4%.

1.7.2. График «Тепловое сопротивление – температура»

Его используют для определения температур на стыке слоев. Строится следующим образом. По оси абсцисс в любом масштабе, но в порядке расположения слоев откладываются значения их термических сопротивлений

и и восстанавливаются перпендикуляры. На крайних из них также в произвольном, но в одинаковом масштабе откладываются значения наружных температур и (см.рис.1.5). Полученные точки А и С соединяют прямой. Точки пересечения этой прямой со средними перпендикулярами дают значения искомых температур и .

Рис. 1.5. Графический способ определения промежуточных

температур t₂ и t₃

В самом деле треугольники и подобны.

Из подобия следует, что

и

Подставляя значения отрезков, получаем:

или .

Аналогичным образом можно доказать, что

.

Если принять, что коэффициент теплопроводности стенки не зависит от температуры, то из уравнения (1.24) можно получить выражение для определения закона распределения температуры по толщине стенки:

.

Очевидно, что в плоской стенке распределение температуры по толщине прямолинейное. В цилиндрической стенке температура меняется по логарифмической кривой, а в сферической –по сложной кривой, близкой к гиперболе.

Все вышеприведенные зависимости справедливы при среднем значении коэффициента , который довольно просто вычисляется, например, при линейном его изменении с температурой. В этом случае среднее значение коэффициента можно принять равным среднеарифметическому значению, вычисленному по температурам поверхностей стенок Подобное усреднение величины мало сказывается на величинах тепловых потоков. Оно проявляет себя при вычислении температурного поля стенки.