Формула Лагранжа для произвольной системы интерполяционных узлов

Многочлен Лагранжа ищется в виде линейной комбинации из значений f (х) в узлах интерполяции и каких-то специально построенных из системы узлов интерполяции многочленов n -ой степени в виде:

. (10)

Итак, сначала строится вспомогательный многочлен (n +1)-й степени

(11)

и многочлен n -й степени

. (12)

Очевидно, что многочлен (11) обращается в нуль в узлах интерполяции x_i, т.е. w(x_i) = 0, i = , а многочлен (12) j _i (x) обращается в ноль во всех узлах, кроме узла x_i, т.е.:

(13)

Из равенств (12) и (13) следует, что построенный новый многочлен

принимает нулевое значение во всех узлах, кроме j -го, а в узле x_j его значение будет равно единице, т.е.

.

Тогда j -й многочлен из (10) l_j (x_i) × y_j будет принимать нулевые значения во всех узлах, кроме x_j, и значение y_j в узле x_j, т.е.

Согласно (10) составим многочлен

,

где .

Или в более свернутой форме

; (14)

Его погрешность , где x Î [ a, b ].

В отличие от полинома (8) здесь не требуется предварительного определения всех его коэффициентов. Однако, для каждого x_Т нужно рассчитывать полином Лагранжа по технологии (14). Поэтому объем вычислений фактически не меньше, чем при технологии расчета (9).

На практике, если необходим повторный расчет при различных x_Т в большем количестве, то схема (8) будет предпочтительнее. Однако полином Лагранжа широко используется при реализации других численных методов. Следует подчеркнуть, что при n = 1 – это линейная, а при n = 2 – квадратичная интерполяция.