Замечания. 1. Разные способы построения многочленов Лагранжа и Ньютона дают тождественные рабочие формулы при заданной таблице f(x)

1. Разные способы построения многочленов Лагранжа и Ньютона дают тождественные рабочие формулы при заданной таблице f (x). Это следует из единственности интерполяционного многочлена заданной степени на упорядоченной системе узлов.

2. Повышение точности интерполирования предположительно проводить за счет увеличения числа узлов n и соответственно степени полинома P_n (x). Однако при таком подходе увеличивается погрешность из-за роста | f ^{( n )}(x) | и, кроме того, увеличивается вычислительная погрешность.

Эти соображения приводят к другому способу приближения функций с помощью сплайнов (будет рассмотрено дальше).

3. Повышение точности интерполирования осуществляется и посредством специального расположения узлов интерполяции на рассматриваемом отрезке [ a, b ] области определения функции f (x). Известно, что если сконцентрировать узлы x_i вблизи одного конца отрезка [ a, b ], то погрешность R_n (x) при длине отрезка l = b – a > 1 будет велика в точках x_i близких к другому концу. Поэтому всегда возникает задача о наиболее рациональном выборе x_i (при заданном числе узлов n).

Эта задача была решена Чебышевым, т.е. оптимальный выбор узлов нужно производить по формуле:

x_i = ,

где (i = 0, 1, 2,..., n) – есть нули полинома Чебышева T_{n +1}(x).

Пример. Найти значение y = f (x) при x = 0, 4 заданной таблично: