Метод Ньютона для систем двух уравнений

Пусть дана система

Согласно методу Ньютона последовательные приближения типа (5) вычисляются по формулам

; ,

где

; ; n = 0, 1, 2,...

и, если Якобиан

¹ 0

решение будет единственным.

Начальные значения x ₀ и y₀ определяются грубо (приближенно – графически или «прикидкой»). Данный метод эффективен только при достаточной близости начального приближения к истинному решению системы.

Пример. Найти корни системы

Графическим путем можно найти приближенно x ₀ = 1, 2 и y₀ = 1, 7.

.

В начальной точке

= 97, 910.

По формулам получаем

= 1, 2 + 0, 0349 = 1, 2349;

= 1, 7 – 0, 0390 = 1, 6610.

Продолжая процесс вычисления при x ₁ и y₁, получим x ₂ = 1, 2343; y₂ = 1, 6615 и т.д. до достижения желаемой точности.

4.4. Метод Ньютона для систем n -го порядка с n неизвестными

Для метода Ньютона функции F_i = (x ₁, x ₂,..., x_n) из (1) раскладываются в ряд Тэйлора с отбрасыванием производных второго и выше порядков.

Пусть известен результат предварительной итерации при решении (1) дает результат для = (a ₁, a ₂,..., a_n).

Задача сводится к нахождению поправок этого решения: D x ₁, D x ₂,..., D x_n.

Тогда при очередной итерации решение будет:

x ₁ = a ₁ + D x ₁; x ₂ = a ₂ + D x ₂; …, x_n = a_n + D x_n. (8)

Для нахождения D x_i разложим F_i (x ₁, x ₂,..., x_n) в ряд Тейлора:

(9)

Приравняем правые части согласно (1) к нулю и получим систему линейных уравнений относительно D x_i:

(10)

Значения F ₁, F ₂, …, F_n и их производных вычисляются при x ₁= a ₁, x ₂= a ₂,..., x_n = a_n. Расчет ведется с учетом (8) по (9) и (10). Процесс прекращается, когда max|D x_i | < e. При этом будет иметь место единственное решение системы, если Якобиан

.

По сходимости этот метод выше метода простой итерации.