Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Интерполяционный многочлен Ньютона. Как и в предыдущем случае строится многочлен (2) с соблюдением условий (3) специфического вида






Как и в предыдущем случае строится многочлен (2) с соблюдением условий (3) специфического вида. Интерполяционный многочлен Ньютона ищется в следующем виде:

N (x)= a 0+ a 1(xx 0)+ a 2(xx 0)(xx 1)+…+ an (xx 0)(xx 1)…(xxn –1). (17)

Как и в случае (8) для получения рабочей формулы Ньютона необходимо определить значения коэффициентов ai. В отличие от технологии расчета (9) для построения интерполяционного многочлена Ньютона вводится рабочий аппарат в виде, так называемых, конечных разностей для системы равноотстоящих интерполяционных узлов и в виде разностных отношений (разделенные разности) для произвольной системы узлов.

Пусть заданны равноотстоящие узлы xk = x 0 + kh, h = xi +1 xi = const > 0. Значения f (x) в них обозначим f (xk) = fk = yk, k =

Конечными разностями первого порядка принято называть величины

D f (xi) = D fi = fi +1fi; i = .

Конечные разности второго порядка определяются равенствами

i = .

Конечные разности (k +1)-го порядка определяются через разности k -го порядка

i = ; k = . (18)

Конечные разности, как правило, вычисляются по следующей схеме:

Таблица 1

i fi D fi D2 fi D3 fi
  f 0        
    D f 0      
  f 1   D2 f 0    
    D f 1   D3 f 0  
  f 2   D2 f 1    
    D f 2   D3 f 1  
  f 3   D2 f 2    
    D f 3      
  f 4        
       

 

Каждая последующая конечная разность получается путем вычитания в предыдущей колонке верхней строки из нижней строки. Последняя колонка D kfi будет равна нулю. Заметим, что конечные разности можно выразить непосредственно через значения функций. Так для i -го узла рабочая формула имеет вид:

D kfi = ; i = ; k = 1, 2,... (19)

Разностными отношениями (разделенными разностями) первого порядка называются величины

f (x 0, x 1)= f (x 1, x 2)= ;...

Здесь xi – произвольные узлы с соблюдением приоритетности по величине.

По этим соотношениям составляются разностные отношения второго порядка:

f (x 0, x 1, x 2) = ; f (x 1, x 2, x 3) = ; …


Разделенные разности порядка (k +1), k = 1, 2,... определяются при помощи разделенных разностей предыдущего порядка k по формуле:

f (x 0, x 1, …, xk +1) = . (20)

Разностные отношения вычисляются по следующей схеме:

Таблица 2

i xi fi f (xi, xi +1) f (xi, xi +1, xi +2)
  x 0 f 0      
      f (x 0, x 1)    
  x 1 f 1   f (x 0, x 1, x 2)  
      f (x 1, x 2)    
  x 2 f 2   f (x 1, x 2, x 3)  
      f (x 2, x 3)    
  x 3 f 3   f (x 2, x 3, x 4)  
...

 

Для равноотстоящих узлов xk = x 0 + kh (k = ) имеет место соотношение между разделенными разностями и конечными разностями

f (x 0, x 1, …, xk) = k = 0, 1, 2,... (21)

Конечная разность и разделенная разность порядка n от многочлена степени (n) равны постоянной величине, и, следовательно, они для более высокого порядка равны нулю.

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.