Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Интерполяционный многочлен Ньютона. Как и в предыдущем случае строится многочлен (2) с соблюдением условий (3) специфического вида
Как и в предыдущем случае строится многочлен (2) с соблюдением условий (3) специфического вида. Интерполяционный многочлен Ньютона ищется в следующем виде: N (x)= a 0+ a 1(x – x 0)+ a 2(x – x 0)(x – x 1)+…+ an (x – x 0)(x – x 1)…(x – xn –1). (17) Как и в случае (8) для получения рабочей формулы Ньютона необходимо определить значения коэффициентов ai. В отличие от технологии расчета (9) для построения интерполяционного многочлена Ньютона вводится рабочий аппарат в виде, так называемых, конечных разностей для системы равноотстоящих интерполяционных узлов и в виде разностных отношений (разделенные разности) для произвольной системы узлов. Пусть заданны равноотстоящие узлы xk = x 0 + kh, h = xi +1 – xi = const > 0. Значения f (x) в них обозначим f (xk) = fk = yk, k = Конечными разностями первого порядка принято называть величины D f (xi) = D fi = fi +1 – fi; i = . Конечные разности второго порядка определяются равенствами i = . Конечные разности (k +1)-го порядка определяются через разности k -го порядка i = ; k = . (18) Конечные разности, как правило, вычисляются по следующей схеме: Таблица 1
Каждая последующая конечная разность получается путем вычитания в предыдущей колонке верхней строки из нижней строки. Последняя колонка D kfi будет равна нулю. Заметим, что конечные разности можно выразить непосредственно через значения функций. Так для i -го узла рабочая формула имеет вид: D kfi = ; i = ; k = 1, 2,... (19) Разностными отношениями (разделенными разностями) первого порядка называются величины f (x 0, x 1)= f (x 1, x 2)= ;... Здесь xi – произвольные узлы с соблюдением приоритетности по величине. По этим соотношениям составляются разностные отношения второго порядка: f (x 0, x 1, x 2) = ; f (x 1, x 2, x 3) = ; …
f (x 0, x 1, …, xk +1) = . (20) Разностные отношения вычисляются по следующей схеме: Таблица 2
Для равноотстоящих узлов xk = x 0 + kh (k = ) имеет место соотношение между разделенными разностями и конечными разностями f (x 0, x 1, …, xk) = k = 0, 1, 2,... (21) Конечная разность и разделенная разность порядка n от многочлена степени (n) равны постоянной величине, и, следовательно, они для более высокого порядка равны нулю.
|