Изогональные окружности.

Прежде, чем доказывать теорему о биссектрисах изучим свойства «изогональных окружностей».

Пусть даны две окружности А и В. Окружность С называется изогональной к А и В если угол между А и С равен углу между В и С. Частный случай изогональных окружностей – когда С касается А и В или когда С – ортогональна А и В. Рассмотрение изогональных окружностей приучает нас внимательно относиться к расположению углов и замечать их ориентацию. Мы докажем, что все окружности, изогональные к двум данным А и В – распадаются на два семейства. Одно семейство – ортогонально одной биссектрисе между А и В, другое – другой биссектрисе. Окружности, ортогональные А и В принадлежат обеим семействам сразу. Если же А и В касаются, то у них всего одна биссектриса. Изогональные к ним окружности также распадаются на два семейства. Одно – ортогонально единственной биссектрисе, а другое – все окружности, проходящие через точку касания А и В. Опять-таки – окружности, ортогональные А и В лежат в обеих этих семействах одновременно.

То, что окружности из этих семейств изогональны к А и В доказывается тривиально. Пусть I – какая-то биссектриса между А и В, I(A)=B. Пусть С – ортогональна I, I(C)=C, тогда угол между А и С равен углу между I(A)=B и I(C)=C, т.е. равен углу между В и С, что и требовалось. Если же А и В касаются и С проходит через точку касания А и В:

Рисунок 7.

(Две касающиеся в точке Р окружности А и В, окружность С, проходящая через Р, общая касательная прямая в точке Р окружностей А и В.)

Всякая окружность С, проходящая через Р пересекает А и В под тем же углом, что и их общую касательную прямую. Это аналогично тому, что всякая прямая пересекает пару параллельных прямых под одним углом. что и требовалось.

Нам осталось доказать, что всякая окружность, изогональная к двум данным А и В – принадлежит к одному из описанных семейств. Сначала рассмотрим случай, когда А и В – не касаются. Заметим, что нам достаточно доказать, что на всякой изогональной к А и В окружности С есть пара точек, сопряженных друг с другом относительно какой-то биссектрисы между А и В.

Сначала заметим, что если С касается А и В, то всякая окружность, проходящая через точки касания – изогональна к А и В.

Рисунок 8.

(Окружности А и В, окружность С касающаяся А и В, окружность С1, проходящая через точки касания А с С и В с С.)

Т.к. С и А касаются то С1 изогональна к С и А, т.к. С и В касаются, то С1 изогональна к С и В. Значит С1 изогональна к А и В. Что и требовалось. Приведем другое доказательство. В ст. 3 было доказано, что касающиеся А и В окружности ортогональны одной из биссектрис между А и В, точки касания сопряжены относительно этой биссектрисы, следовательно С1, проходящая через эти точки касания будет ортогональна этой биссектрисе. А мы только что доказали, что окружности, ортогональные биссектрисе между А и В – изогональны к А и В. что и требовалось.