Ориентация и расположение углов.

Прежде чем двинуться дальше, необходимо заметить простые свойства ориентации (расположения) углов. Начнем с геометрии прямых. Пусть есть три прямые Н, Т, К пересекающиеся в точке О и мы знаем, чему равны углы между Н1 и Т и между Т1 и К. Тогда угол между Н1 и К равен или сумме или разности этих углов, в зависимости от их ориентации. Ориентацией я называю направление вращения точки О при движении от одной прямой к другой по известному углу. Точно также обстоит дело и с тремя окружностями, пересекающимися в одной точке. Но, в геометрии окружностей есть феномен, которого нет в геометрии прямых. у двух окружностей Н и Т – есть вторая точка пересечения. И, если мы рассмотрим ориентацию того же угла между Н и Т во второй точке пересечения – они будет противоположна ориентации в первой точке пересечения!

Рисунок 9.

(Две пересекающиеся в точках О и О1 окружности Н и Т. Стрелки показывают направление движения от Н к Т вблизи точек пересечения (Стрелки идут по меньшему углу между Н и Т))

Т.е. точки вблизи О будут вращаться в одну сторону, а вблизи О1 – в другую. Разумеется, есть и переходный случай – когда эти точки движутся по прямой, а у прямой – нет ориентации! поэтому в случае окружностей, говоря про ориентацию угла между окружностями нужно добавлять – в какой точке пересечения мы ее определяем. Заметим еще одно. Если угол между Н и Т равен 90 градусов (Н и Т ортогональны), то нет возможности говорить об ориентации угла. Ведь этот угол равен своему дополнительному.

Вернемся к изогональным окружностям. Пусть окружность С изогональная А и В пересекает окружность А и в точках А1 и А2, окружность В в точках В1 и В2. Мы докажем сейчас, что С – ортогональна какой-нибудь биссектрисе между А и В. Не будем пока интересоваться точкой А2. Рассмотрим ориентацию угла между А и С в точке А1 и ориентации равных ему по величине углов между В и С в точках В1 и В2. Поскольку последние две ориентации – противоположны друг другу, то одна из них совпадает с ориентацией угла между А и С в точке А1, а другая – противоположна. Выберем из точек В1 и В2 ту, в которой ориентация угла между В и С противоположна ориентации угла между А, С в точке А1. Пусть это точка В1.

Проведем через А1 и В1 произвольную окружность D и покажем что она – всегда изогональна к А и В.

Рисунок 10.

(Окружности А и В, окружность С, пересекающая их в точках А1 и В1 – выбранных, как было описано выше, – окружность D, проходящая через точки А1, В1).

Рассмотрим углы между А и D, D и С и между А и С и их ориентации в точке А1. Пусть например, ориентация угла между С и D та же что и между А и С. Тогда угол между А и D равен их сумме. Теперь рассмотрим углы и их ориентации в точке В1. Угол между В и С, по выбору точки В1 имеет ориентацию противоположную ориентации угла между А и С, угол между С и D имеет ориентацию, противоположную той, что имеет в точке А1 (т.к. окружности С и D пересекаются в точках А1 и В1 и ориентации этого угла противоположны в этих точках). Значит угол между В и D равен углов между В и С и между С и D. Т.к. угол между В и С равен углу между А и С то из приведенного следует, что угол между А и D равен углу между В и D. Что и требовалось.

Если же ориентация угла между С и D противоположна в точке А1 ориентации в этой же точке угла между А и С, то угол между А и D равен разности угла между А и С и угла между С и D. В точке В1 соответствующие ориентации – обе изменятся на противоположные и поэтому останутся противоположны друг другу. Угол между В и D поэтому будет равен разности между углами В с D и С с D. Отсюда опять-таки получим, что угол между B и D равен углу между А и D. Что и требовалось.

Теперь проведем через точки А1 и В1 окружность D1, касающуюся А в точке А1. по доказанному D1 образует с В тот же угол, что и с А, т.е. – касается окружности В в точке В1. Мы уже доказали (ст. 3), что окружность, касающаяся А и В ортогональна какой-то их биссектрисе, и что точки их касания – сопряжены относительно этой биссектрисы. Следовательно А1 и В1 сопряжены относительно какой-то биссектрисы между А и В, и все окружности, проходящие через эти точки – ортогональны этой биссектрисе, следовательно – окружность С тоже ей ортогональна. Что и требовалось.

Если А и В касаются и С изогональна им, то, если с не проходит через общую точку касания все наши рассуждения переносятся без ущерба. (с небольшими модификациями). Итак, мы доказали, что окружности, изогональные двум данным – ортогональны одной из биссектрис или (если данные окружности касаются) – проходят через точку их касания.

Теорема о пересечении биссектрис трех окружностей и неевклидовы геометрии.

Пусть даны три произвольные, не касающиеся друг друга окружности и D1 – какая-то биссектриса между А и В, а D2 – какая-то биссектриса между В и С. Теорема утверждает, что одна из двух существующих биссектрис между А и С обязательно лежит в пучке, образованном D1 и D2. Доказательство.

Рассмотрим пучок окружностей, ортогональных D1 и D2. Все окружности этого пучка изогональны и к А и В и к В и С. в самом деле, пусть О – какая-то окружность этого пучка. D1(O)=O, D1(A)=B следовательно угол между О и А равен углу между О и В. D2(O)=O, D2(B)=C, следовательно угол между О и В равен углу между О и С. Из этих равенств следует, что угол между О и А равен углу между О и С (транзитивность равенства). Это означает, что О изогональна и к А и С. Из доказанного следует, что О – ортогональна какой-то биссектрисе между А и С. Проведем еще О1 и О2 из пучка, ортогонального к D1 и D2, каждая из них изогональна к А и С и потому будет ортогональна какой-то биссектрисе между А и С. Т.к. из трех окружностей О, О1, О2 – каждая ортогональна одной из двух биссектрис между А и С, следовательно какая-то из биссектрис между А и С ортогональна двум из этих трех окружностей, следовательно, эта биссектриса лежит в том же пучке, что D1 и D2. Что и требовалось. Предоставляю читателю самостоятельно разобрать случай, когда среди А, В, С – есть касающиеся окружности.

Вернемся к нашей модели разных геометрий. Согласно ей, три окружности А, В, С – прямые (неизвестно какой геометрии, Римана, Лобачевского или Евклида). Тем самым мы доказали, что в любом треугольнике – любой геометрии – биссектрисы пересекаются. Правда, требуется установить, какие именно биссектрисы!

Ранее доказав, что изогональные окружности ортогональны биссектрисе, мы доказали в терминах нашей модели (любой геометрии!), что в треугольнике, углы при одной из сторон которого равны – биссектриса противоположного угла ортогональна этой стороне. правда, и здесь требуется уточнить, какие именно углы равны.

Итак, мы видим, что предложенная модель позволяет вполне эффективно доказывать теоремы неевклидовых (и евклидовой) геометрий одновременно.