Однотипные задачи на построение.

Я буду нумеровать задачи буквами латинского алфавита. Но прежде чем приступить к списку напомню решение совсем простой задачи, настолько простой и важной, что ее надо помнить отдельно. О ней уже писалось в ст. 3 и 4. Именно: проведение окружности, проходящей через данную точку и лежащую в данном пучке.

Решение. Возьмем две произвольные окружности пучка. Проведем две окружности, ортогональные им, проведем через данную точку окружность, ортогональную этим двум. Она будет лежать в том же пучке, что и две исходные окружности. Что и требовалось. Заметим, что если исходный пучок – действительный, то можно просто провести окружность через данную точку и точки пересечения двух произвольных окружностей пучка (что, разумеется, проще, чем описанное построение), а если пучок – касающийся, то можно провести окружность через данную точку, касающуюся двух произвольных окружностей пучка (это уже не так просто, проведение касательных окружностей). Но если пучок мнимый – предложенное первоначально решение наиболее удобно. Кроме того, оно удобно тем, что позволяет решить задачу одним способом для пучков любых типов.

Итак, задачи на построение. Многие задачи из списка уже обсуждались и не раз. Но удобно собрать материал в одном месте.

А. Построение окружности, ортогональной данной окружности О и проходящей через две данные точки Р1 и Р2. Решение: проводим окружность через Р1, Р2, О(Р1).

В. Тоже самое, но Р1 лежит на О. Решение: проводим окружность через Р1, Р2, О(Р2).

С. Построение окружности, касающейся О в данной точке Р1 и проходящей через данную точку Р2. Решение: проведем окружность О1 через Р1 и Р2, ортогональную О (см. пункт В), выберем точку Р3 не лежащую на ней и О и проведем окружность О2, ортогональную О через точки Р3 и Р1. Теперь проведем О3, ортогональную О2 и проходящую через Р1 и Р2. О3 и будет искомой. Доказательство: О, О2, О3 – проходят через Р1, О2 – ортогональна О и О3, следовательно О и О3 касаются в Р1. (по аналогичной причине О1 касается О2 – обе они ортогональны О).

Рисунок 1.

(Все описанные выше окружности и точки)

D. Построение окружности, ортогональной О и проходящей через Р1 и Р2, когда Р1 и Р2 – обе лежат на О. Решение. Метод пунктов А и В не работает, т.к. теперь О(Р1)=Р1, О(Р2)=Р2 и мы не получаем третьей точки, чтобы через нее и Р1 и Р2 провести искомую окружность. поэтому мы сначала построим какую-нибудь окружность О1, касающуюся О в точке Р1 (пункт С) и проведем, пользуясь пунктом В окружность О2, ортогональную О1, через Р1 и Р2. Т.к. О1 касается О в точке Р1, то О2 будет искомой. Алгоритм: берем произвольную точку Р3, не лежащую на О, проводим окружность К через Р1, Р3, О(Р3), К ортогональна О. Берем произвольную точку Р4, не лежащую на К и О и проводим окружность О1 через Р4, К(Р4), Р1 – О1 касается О в точке Р1. Проводим окружность О2 через точки Р2, Р1, О1(Р2), она и будет искомой.

Построения в этом и предыдущем пункте имеют полезную аналогию в геометрии симметрий прямых: если нам надо построить прямую, проходящую через данную точку, и параллельную данной прямой, то мы можем взять произвольную точку, отразить ее относительно данной прямой, провести через полученную пару точек прямую, отразить относительно нее данную точку и через полученную пару точек провести прямую. Они и будет искомой.