Действия над матрицами

Действия над матрицами определяются с помощью действий над их элементами.

1) Сумма (разность) двух матриц одинакового типа А ± В есть матрица С того же типа:

2) Произведение матрицы на число a есть матрица, элементы которой получены умножением всех элементов на число a:

3) Произведением матрицы размера [ m ´ n ] на матрицу размера [ n ´ r ] называется матрица размера [ m ´ r ], элементы которой вычисляются по формуле:

То есть, чтобы получить элемент надо вектор из элементов i-ой строки матрицы А скалярно умножить на вектор из элементов j-го столбца матрицы В.

Произведение А∙ В двух матриц в указанном порядке возможно в том и только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

4) Произведение матрицы Ана вектор –частный случай произведения матрицы на матрицу, когда второй сомножитель является матрицей-столбцом (или вектором), причем количество элементов вектора должно быть обязательно равно количеству столбцов матрицы А. Результатом перемножения является вектор где

Действия над матрицами подчиняются следующим законам:

1. А + В = В + А;

2. А +(В + С) = (А + В)+ С;

3. a(А + В)= a А +a В;

4. a(b А )=(ab) А;

5. A (BC) = (AB) C;

6. (А + В) С = АС + ВС;

7. С (А + В) = СА + СВ;

8. a(АВ) = (a А ) В = А (a В ).

Основной особенностью матричного исчисления является некоммутативность произведения матриц:

АВ ¹ ВА,

т.е. произведение двух матриц не обладает свойством переместительности и из существования произведения АВ вовсе не следует существование произведения ВА. Покажем это на примере.

n Пример 1.1. Вычислить произведение двух матриц А и В.

для данного случая не существует.