Нелинейных уравнений

Решение некоторых строительных задач сводится к решению достаточно сложных нелинейных уравнений. В отдельных случаях они представлять собой самостоятельную задачу. Например, при проектировании очистных сооружений зависимости, связывающие проектные параметры процесса очистки являются чаще всего нелинейными. В других случаях решение нелинейных уравнений являться составной частью более сложных задач, например, частью расчета сооружения на устойчивость, и т.д.

Корни таких уравнений сравнительно редко удается найти точными методами. Кроме того, в некоторых случаях и коэффициенты уравнения, полученные в процессе эксперимента или как результаты предварительных расчетов, известны лишь приблизительно. Следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл и важное значение приобретают методы приближенного нахождения корней уравнения и оценки степени их точности.

Нелинейные уравнения можно разделить на два класса: алгебраическиеитрансцендентные.

Алгебраические уравнения содержат только алгебраические функции, например,

Уравнения, содержащие любые другие функции (триго-нометрические, логарифмические, показательные и др.) назы-ваются трансцендентными, например,

Любое нелинейное уравнение с одним неизвестным можно представить в общем виде

f (x) = 0, (2.1)

где функция f (x) определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале A < x < B.

Всякое значение x ^*, обращающее уравнение (2.1) в тождество, называется корнем этого уравнения, т.е. f(x^*) = 0.

С геометрической точки зрения задача нахождения корней уравнения (2.1) эквивалентна задаче нахождения нулей функции у=f(x) т.е. абсцисс точек пересечения графика функции c осью Х, т.е. значений x_i, для которых выполняется условие f (x_i) = 0 (для i =1, 2, ……), рис.2.1.

Рис.2.1.Схема локализации корней

Исходя из специфики строительных задач будем рассматривать только действительные корни уравнения (2.1).

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые (точные) и итерационные (приближенные).

Прямые методы позволяют записать корни уравнения в аналитическом виде, т.е. в виде некоторой формулы. На практике класс таких уравнений весьма невелик.

Итерационные (приближенные) методы – это методы последовательных приближений.

Алгоритм нахождения корней уравнения (2.1) с помощью итерационных методов складывается из 2-х этапов.

Первый этап – отделение или локализация корней. На этом этапе необходимо решить следующие задачи:

· определить количество и расположение корней;

· найти их приближенные значения (нулевые итерации) или определить отрезок, содержащий единственный корень.

Второй этап – уточнение приближенного значения корня до некоторой заданной точности ε.