Линейные преобразования

Определение. Говорят, что в линейном пространстве задано некоторое линейное преобразование А, если любому элементу по некоторому правилу ставится в соответствие элемент .

Определение. Преобразование А называется линейным, если для любых векторов и и любого выполняются равенства

Определение. Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует каждый элемент линейного пространства в себя.

.

Пример. Является ли А линейным преобразованием А = + ; ?

Запишем преобразование А для произвольного элемента : А = + . Проверим, выполняется ли правило операции сложения для этого преобразования: Очевидно, это равенство верно только при т.е. данное преобразование А нелинейное.

Определение. Если в пространстве существуют векторы линейного преобразования , то другой вектор является линейной комбинацией векторов .

Определение. Если выполняется только при , то векторы называются линейно независимыми.

Определение. Если в линейном пространстве есть n линейно независимых векторов, а любые векторов линейно зависимы, то пространство называется n-мерным, а совокупность линейно независимых векторов называется базисом линейного пространства .

Следствие. Любой вектор линейного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса.