Модель динамической характеристики термопреобразователя

В основу построения модели положены уравнения нестационарной теплопроводности Фурье.

Элементарный объем, а также векторы потоков тепла, проходящих через грани выделенного объема приведен на рис. 2.9.

Рисунок 2.9 – Схема векторов потоков тепла

Пусть – поток тепла, входящий вдоль оси , тогда – поток тепла на приращении .

В качестве базового уравнения рассмотрим уравнение стационарной теплопроводности (уравнение Фурье).

.

Запишем последовательно изменение величины выделенных потоков тепла. Под изменением величины будем понимать разность входных и выходных потоков.

Запишем изменение потока тепла по оси х:

_.

Запишем изменение величин потоков по другим осям:

_,

_.

Общее изменение потока тепла, проходящего через элементарный объем:

,

,

,

,

,

где - первые два члена ряда Тейлора.

Аналогично:

,

,

.

C другой стороны:

,

где - масса, - общая теплоемкость.

После всех подстановок получим:

 

где – коэффициент температуропроводности.

Основное уравнение, которым можно описать теплопроводность внутри терморопреобразователя:

  ,

где – геометрический параметр. Для бесконечного цилиндра , для шара .

Уравнение теплопроводности можно записать для конечного цилиндра, для этого будем использовать бесконечную пластину и бесконечный цилиндр.

Для того чтобы решить эти уравнения, надо записать условия на границе фаз. Граничные условия запишем в виде равенства плотностей потоков внутри объекта и в среде на границе раздела (поверхности раздела). Величина плотности внутри объекта запишется по закону Фурье:

,

где a - коэффициент теплоотдачи, – радиус, соответствующий границе объекта, – температура среды.

Запишем уравнение баланса для ограниченного объема:

С одной стороны - это количество тепла, которое ушло из датчика, т.е

,

где - средняя температура.

С другой стороны - это количество тепла, которое ушло либо пришло в датчик из окружающей среды

.

Обозначим текущую температуру , тогда общее количество тепла для цилиндра:

,

где .

Если учесть, что температура для каждого слоя зависит от радиуса, то

.

Рисунок 2.10

Такой же подход очевиден и для шара:

.

Система должна быть дополнена начальными условиями:

при

Для решения данной системы применяются численные методы, например, запись системы в конечных разностях.

Обозначим через параметр изменение температуры во времени, а через - изменение по радиусу. Тогда изменение температуры во времени для фиксированного радиуса можно записать: .

На рисунке 2.11 рассмотрим точку . Запишем для нее вторую производную, которую можно представить как конечную разность первых производных в точках 1 и 2:

.

Рисунок 2.11

Оборудование для проведения лабораторной работы: термопара ТХК; самопишущий прибор КСП-4; керамический сосуд для воды; спиртовой термометр; мерный стакан; водонагревательное устройств; микрометр.