Магнитное поле в веществе.

Если создающие магнитное поле проводники с токами находятся не в вакууме, как предполагалось выше, а в какой-либо среде, магнитное поле изменится. Это объясняется тем, что всякое вещество является магнетиком, т.е. способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент (намагничиваться). Намагниченное вещество создает дополнительное магнитное поле В ^/, которое складывается с полем токов В ₀. Результирующее поле В = В ^/ + В ₀.

Для количественного описания свойств магнетиков вводится магнитный момент единицы объема, или вектор намагничения

, (1.16)

где р _m – магнитный момент отдельной молекулы, Δ V – физически “бесконечно малый” объем, взятый в окрестности выбранной точки. Сумма берется по всем молекулам заключенным в этом объеме.

Для описания магнитного поля в магнетиках, кроме вектора магнитной индукции В, вводится вектор напряженности магнитного поля Н:

Н = В /μ ₀ – J. (1.17)

Как показывают экспериментальные исследования, в однородных и изотропных магнетиках вектор намагничения связан с напряженностью поля в одной и той же точке соотношением

J =χ Н, (1.18) где χ – величина, называемая магнитной восприимчивостью вещества. Подставив в формулу (1.17) значение J из (1.18) легко получить уравнение, связывающее вектора напряженности и магнитной индукции

В = μ ₀(1 + χ) Н ≡ μ ₀μ Н, (1.19) где введена безразмерная величина μ = 1 + χ, называемая относительной магнитной проницаемостью вещества; произведение μ ₀μ называют абсолютной магнитной проницаемостью. В зависимости от знака и величины магнитной восприимчивости χ все магнетики подразделяются на три группы:

1) диамагнетики, у которых χ отрицательна и мала, m<»1.

2) парамагнетики, у которых χ положительна и мала, m>»1.

3) ферромагнетики, у которых χ положительна и велика, m> > 1.

С особой осторожностью следует относиться к границам раздела между магнетиками, т.к. на этих границах может происходить преломление линий вектора магнитной индукции (и вектора напряженности магнитного поля), связанное с различием тангенциальных (нормальных) к границе компонент вектора В (и Н) по разные стороны от границы.

Для удобства рассмотрения полей в веществах, вводят вспомогательный вектор Н, обладающий тем свойством, что его циркуляция по замкнутому контуру, зависит лишь от алгебраической суммы макроскопических токов проводимости (не зависит от “молекулярных” токов в веществе).

Связь этого вектора вектором магнитной индукции в однородном изотропном магнетике дается выражением:

.

Поскольку зашла речь о движущихся в магнитном поле проводниках, то наблюдается еще один эффект - возникновение ЭДС (и тока, если имеется замкнутый контур) в проводниках, движущихся в магнитном поле. Рассмотрим проводящий (для определенности металлический) стержень, движущийся вправо под действием какой-то внешней силы с постоянной скоростью V в однородном магнитном поле. С такой же скоростью двигаются вместе со стержнем и свободные электроны, находящиеся в нем. На движущиеся в магнитном поле электроны действует сила Лоренца, направленная вниз (на рисунке), и она приводит к тому, что на нижнем конце стержня образуется избыточный отрицательный заряд электронов, а на верхнем конце - положительный не скомпенсированный заряд ионов металла. Возникает разделение заряда, что может интерпретироваться, как существование сторонней силы, а следовательно, и сторонней ЭДС. Роль сторонней силы играет магнитная сила Лоренца. Получается что-то наподобие батарейки, у которой плюс сверху, минус снизу, особенность состоит в том, что данная батарейка существует только пока движется и напряжение на ней, кроме всего прочего, зависит от скорости движения, магнитного поля и их взаимной ориентации. Для расчета величины ЭДС на концах стержня рассмотрим электрон, находящийся в стержне. На электрон, движущийся со стержнем, действует магнитная сила Лоренца, направленная вниз, и электрическая сила со стороны электрического поля, созданного перераспределившимися в стержне зарядами. Под действием этих двух сил электрон в стационарном режиме (при постоянной скорости движения стержня и величине и ориентации поля) будет покоится относительно стержня, т.е. , откуда напряженность поля сторонней силы: . Сосчитав работу этого поля по переносу единичного положительного заряда вдоль участка L, где это поле существует, получим ЭДС индукции на этом участке:

.

В нашем конкретном случае это даст для величины ЭДС: , где l- длина стержня. Если бы наш стержень двигался по металлическим направляющим, дополняющим стержень до замкнутого контура, то в контуре против часовой стрелки потек бы индукционный ток, величина которого зависела бы от полного сопротивления контура.

Рассмотрим эту же задачу с привлечением средств высшей математики и уже известных уравнений Максвелла для электрического поля. Выберем согласованные направления нормали к рамке и обхода контура (если бы рассматривался отдельный стержень, то можно было бы мысленно дополнить его до замкнутого контура). Согласно уравнению Максвелла

При интегрировании мы учли, что элемент длины dl направлен по направлению выбранного обхода контура (т.е. против E^*, отсюда и “минус”), что циркуляция электростатического поля E равна нулю. В результате получено выражение, связывающее возникающую в контуре ЭДС индукции, со скоростью изменения магнитного потока через площадь, ограниченную контуром (одно из уравнений Максвелла):

Полученное из рассмотрения частного случая движения проводника в однородном магнитном поле выражение, может быть обобщено и распространенно на более широкий круг явлений, т.к. магнитный поток через площадь, ограниченную контуром, может изменяться не только вследствие изменения площади самого контура, но и вследствие изменения величины магнитного поля или взаимной ориентации контура и направления магнитного поля.

Электромагнитная индукция возникает во всех случаях, когда изменяется магнитный поток через контур. При этом совершенно не важно, чем вызывается это изменение потока. Если в некотором контуре течет изменяющийся во времени ток, то магнитное поле этого тока также будет изменяться. Это влечет за собой изменение магнитного потока через контур, а следовательно, и появление ЭДС индукции. Таким образом, изменение тока в контуре ведет к возникновению ЭДС индукции в этом же самом контуре. Данное явление называется самоиндукцией. Магнитное поле и полный магнитный поток через контур будет пропорциональны силе тока, при этом

где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью. Индуктивность зависит от формы и размеров контура, а также от магнитных свойств окружающей среды.

Если же ЭДС индукции в контуре вызывается изменением тока, протекающего по другому контуру, то говорят о явлении взаимной индукции в контурах. При этом взаимную индуктивность определяют как коэффициент пропорциональности между током в одном контуре и магнитным потоком, создаваемым данным током, через поверхность, ограниченную другим контуром.

Пример 5. Найти индуктивность соленоида с числом витков N и имеющего длину l и диаметр D.

В случае протекания через соленоид тока I, магнитное поле внутри соленоида было бы В=m₀× I× N/l. Это поле создало бы магнитный поток через каждый виток Ф=В× S= (m₀× I× N/l)× (p× D²/4). Учитывая, что полный поток через все витки суммируется, получим Ф_полн= (m₀ × N²× p× D²/(l× 4))× I. Откуда индуктивность находится в виде L=m₀× N²× p× D²/(l× 4)= m₀× (N/l)²× V, где V- объем внутри соленоида.

С использованием выражения для индуктивности соленоида легко получить формулу для энергии магнитного поля. Как известно магнитной энергией тока называется величина W=L× I²/2. Если подставить в эту формулу выражение для индуктивности соленоида:

Поскольку V- объем соленоида, а магнитное поле соленоида сосредоточено внутри него (точно также как и электрическое поле конденсатора сосредоточено внутри конденсатора), то B²/(2× m₀) играет роль объемной плотности магнитной энергии. Таким образом, магнитная энергия тока может интерпретироваться как энергия электромагнитного поля, распределенного в пространстве с объемной плотностью w= B²/(2× m₀), а для расчета полной магнитной энергии нужно проинтегрировать по всему пространству, где существует магнитное поле.

На этом заканчивается обзор основных выражений, знание которых будет способствовать выполнению заданий из раздела “Электромагнетизм”.

Основные формулы по разделу “Электромагнетизм”.

Связь магнитной индукции В с напряженностью магнитного поля Н:

(2.1)

где m- относительная магнитная проницаемость изотропной среды, m₀- магнитная постоянная.

Закон Био-Савара-Лапласа:

или (2.2)

где dB магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника длины dl с током I, r - радиус-вектор, направленный от проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция, a- угол между радиус-вектором r и направлением тока в элементе проводника.

Магнитная индукция в центре отрезка кругового тока, опирающегося на угол j:

(2.3)

где R- радиус кругового витка.

Магнитная индукция на оси кругового тока:

(2.4)

где h расстояние от центра витка до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция, создаваемая отрезком проводника с током:

Рис.1

(2.5)

Обозначения ясны из рис.1 Направление вектора В обозначено точкой - это значит, что В направлен перпендикулярно плоскости чертежа к нам.

Напряженность магнитного поля внутри соленоида

(2.6)

где n- число витков на единицу длины соленоида.

Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле:

или (2.7)

где Dl- длина проводника, a- угол между направлением тока в проводнике и вектором В.

Сила взаимодействия двух параллельных токов (на единицу длины):

(2.8)

где l- расстояние между токами.

Магнитный момент плоского контура с током:

(2.9)

где S- площадь контура, I- ток в контуре, n- единичный вектор нормали к плоскости контура (его направление совпадает с направлением движения правого винта, вращаемого по направлению тока в контуре).

Момент сил, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле:

или (2.10)

где a- угол между векторами p_m и В.

Потенциальная энергия контура с током в магнитном поле:

(2.11)

Сила, действующая на заряженную частицу в электромагнитном поле (сила Лоренца):

или при() (2.12)

где V - скорость частицы, a- угол между векторами V и В.

Магнитный поток:

(2.13)

где a- угол между вектором В и нормалью к поверхности dS.

Полный магнитный поток (потокосцепление):

(2.14)

где N- число витков катушки (соленоида).

Работа по перемещению замкнутого контура (или его подвижной части) с током в магнитном поле:

(2.15)

ЭДС индукции:

(2.16)

ЭДС самоиндукции:

(2.17)

Индуктивность соленоида:

(2.18)

где n- плотность намотки, V- объем соленоида.

Уравнение Максвелла о циркуляции вектора Н:

(2.19)

Уравнение Максвелла о циркуляции вектора Е:

(2.20)

Энергия магнитного поля соленоида:

(2.21)

Плотность энергии магнитного поля:

(2.22)

Условия непрерывности отдельных компонент векторов В и Н:

(2.23)

где индексы “n” и “t” обозначают компоненты векторов нормальные и параллельные к границе раздела сред, соответственно.

2.2 Колебания и волны.

Колебаниями называются процессы, имеющие определенную повторяемость во времени. В природе и технике широко распространены колебания различной природы: механические, электромагнитные, электромеханические, химические и т.д.. Независимо от природы колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями.

Простейшими считаются гармонические колебания, т.е. колебания вида

(2.24, а)

которые характеризуются амплитудой А, начальной фазой j₀ и частотой w₀, или связанным с ней периодом колебаний Т=2× p/w₀. Функция х(t) в формуле (2.24, а) является общим решением дифференциального уравнения второго порядка

(2.24, б)

которое называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Рассмотрим в качестве примера две идеализированные простые системы, в которых могут происходить гармонические колебания.

1. Пружинный маятник - груз массы m, подвешенный на абсолютно упругой пружине жесткости k. Считая, что при отклонении от положения равновесия x=0 на груз действует только упругая сила F=-k× x, запишем уравнение движения маятника (второй закон Ньютона) m× a=-k× x, или (Точкой над буквой обозначили производную по времени t: ). Сравнивая это уравнение с уравнениями (2.24) легко видеть, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с частотой .

2. Электромагнитный колебательный контур - электрическая цепь из последовательно включенных конденсатора емкости С и катушки индуктивности L. Омическое сопротивление R. Согласно второму правилу Кирхгофа I× R+U_c=E_L, где падение напряжения U_c=Q/C, а ЭДС . Таким образом мы получаем уравнение

(2.25)

которое при R=0 переходит в уравнение гармонических колебаний заряда конденсатора Q с частотой .

Сложение гармонических колебаний.

Рис.2

Колеблющаяся величина может одновременно участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание или, иначе говоря, сложить колебания. Найдем вначале сумму 2-х колебаний одного направления и одинаковой частоты, x₁=A₁× cos(wt+j₁), x₂=A₂× cos(wt+j₂), используя метод векторных диаграмм. Последние дают простую наглядную интерпретацию гармонических колебаний вида (2.24, а). Из произвольной точки О оси Х отложим вектор длины А, образующий с осью угол j. Проекция вектора на ось Х равна A× cosj. Будем считать, что вектор A равномерно вращается против часовой стрелки вокруг точки О с угловой

скоростью w₀ так, что угол j изменяется по закону j(t)=w₀t+j₀. Тогда Х - проекция вектора A будет совершать гармонические колебания по закону (2.24, а).

Для сложения колебаний x₁ и x₂ построим векторные диаграммы этих колебаний (Рис.2). Так как векторы A₁ и A₂ вращаются с одинаковой угловой скоростью w₀, то разность фаз (j₂-j₁) между ними остается постоянной. Очевидно, что искомое результирующее колебание описывается изменением во времени проекции вектора A = A₁ + A₂. Уравнение результирующего колебания есть

(2.26)

Подобным образом легко сложить любое число гармонических колебаний одинаковой частоты.

Биения - важный частный случай, когда два складываемых колебания одного направления мало отличаются по частоте. В результате сложения получаются негармонические колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды результирующего колебания называются биениями. Пусть амплитуды колебаний x₁(t) и x₂(t) равны А, а частоты - w и w+Dw, причем Dw< < w. Начало отсчета времени выберем так, чтобы начальные фазы колебаний равнялись нулю. Для результирующего колебания x(t)=x₁(t)+x₂(t)=Acoswt+Acos(w+Dw)t легко получить следующее выражение x(t)=[2Acos(Dw/2)t]coswt (во втором сомножителе мы пренебрегли малой величиной Dw/2 по сравнению с w). Получившиеся колебания описываются произведением двух периодических сомножителей. Поскольку первый сомножитель изменяется намного медленнее второго, колебание x(t) можно рассматривать как гармоническое с частотой w, амплитуда которого медленно изменяется со временем по следующему периодическому закону:

Период биений T_б=2p/Dw.

Затухающие колебания.

В реальных колебательных системах всегда имеются силы трения, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних источников, колебания будут затухать. Для большого класса механических и электрических колебательных систем “силы трения” пропорциональны скорости изменения колеблющейся величины. Колебания в таких системах описываются дифференциальным уравнением затухающих колебаний

(2.27)

общее решение которого есть

(2.28)

Период затухающих колебаний зависит от частоты свободных незатухающих колебаний w₀ и от коэффициента затухания b. Последний определяет также скорость изменения амплитуды затухающих колебаний A(t)=A₀e^{-b× t}. Важной характеристикой затухающих колебаний является логарифмический декремент затухания

(2.29)

через который выражаются две другие характеристики: добротность Q=p/l и число колебаний N_e за время затухания t=1/b, N_e=1/l.

Для каждой конкретной колебательной системы основные параметры затухающих колебаний w₀ и b можно выразить через характеристики системы. Например, для электромагнитного L, C, R - колебательного контура, сравнивая уравнения (2.27) и (2.25), легко найти, что

(2.30)

Вынужденные колебания.

Один из способов получить незатухающие колебания в реальной системе - оказать на нее воздействие периодически изменяющейся “силой”. Рассмотрим здесь пример электромагнитного колебательного контура последовательно подключенного к переменной э.д.с. вида U(t)=U_mcoswt. Используя те же законы, что и при выводе уравнения (2.25) нетрудно получить следующее уравнение

(2.31)

Решение этого уравнения равно сумме общего решения (2.28) однородного уравнения затухающих колебаний и частного решения, описывающего вынужденные колебания с частотой, равной частоте вынуждающей “силы” w. Можно проверить, что частное решение имеет следующий вид

(2.31)

где

(2.32)

Рассмотрим более подробно поведение амплитуды Q_m вынужденных колебаний, как функции частоты w. При w=0 из формул (2.33) находим Q_m(0)=U_m/(Lw₀²)=CU_m, т.е. значение заряда конденсатора, на который подано постоянное напряжение U_m (статическое отклонение). При больших частотах w> > w₀ амплитуда быстро убывает: Q_m(w)=U_m/(Lw²)®0. При некотором значении частоты w_p (резонансная частота) амплитуда достигает максимума. Исследуя Q_m на максимум, легко найти это значение частоты и самой амплитуды:

(2.34)

Из формул (2.34) вытекает, что при малом затухании резонансная амплитуда Q_m(w_p)=Q× Q_m(0). Таким образом добротность Q характеризует резонансные свойства колебательной системы - показывает во сколько раз амплитуда колебаний при резонансе больше статического отклонения.

Бегущие и стоячие волны.

Процесс распространения колебаний в пространстве называют волновым процессом, или волной. Если колебания являются гармоническими, волна называется синусоидальной (или гармонической). Получим уравнение плоской бегущей волны - волны, которая распространяется вдоль одного фиксированного направления, а колебания, имеющие одинаковую фазу происходят в плоскостях перпендикулярных к направлению распространения волны (к направлению скорости волны). Пусть волна распространяется вдоль оси Х со скоростью V, а источник расположен в точке x=0 и совершает гармонические колебания по закону x(0, t)=Acoswt. В произвольной точке х колебания x(x, t) повторяют колебания источника с запаздыванием на время t=x/V, необходимое для прохождения волны до этой точки. Таким образом, уравнение плоской бегущей синусоидальной волны есть

(2.35)

В последнем выражении использовано стандартное обозначение волнового числа k=2p/l, где длина волны l=V× T=2pV/w.

Стоячие волны, как следует из названия, описывают установившийся в пространстве процесс колебаний. Образуются стоячие волны при наложении двух бегущих навстречу друг другу синусоидальных волн, имеющих одинаковые частоту и амплитуду: x₁=Acos(wt-kx), x₂=Acos(wt+kx).

Результат сложения

(2.36)

описывает распределенные в пространстве колебания с частотой w, амплитуда которых периодически изменяется с изменением координаты x. В точках с координатами x=±ml/2, m=0, 1, 2,..., амплитуда колебаний ½ 2Acoskx½ достигает максимума, равного 2A. Такие точки называют пучностями стоячей волны. Точки, в которых амплитуда равна нулю, называют узлами. Координаты таких точек определяются уравнением x=±(m+1/2)l/2, m=0, 1, 2,.... Стоячие волны, в отличие от бегущих, не переносят энергию в пространстве.

3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

Пример 1. По контуру, изображенному на рис.3, идет ток силы I=10.0 А. Определить магнитную индукцию в точке О, если радиус дуги R=10.0 см, угол j=60°.

Рис.3

Дано:

I=10.0 А,

R=10.0 см= 10× 10^-2 м,

j=60°, m₀=4× p× 10^-7 Гн/м.

______________________

Определить В_О.

Решение: По принципу суперпозиции полей магнитная индукция в точке О равна векторной сумме магнитных индукций, создаваемых отдельными элементами контура с током. Рассмотрим отдельно три участка контура: дугу 1 и прямолинейные отрезки 2 и 3. Для вычисления магнитных индукций, создаваемых этими элементами, можно воспользоваться формулами (2.3), (2.5). Сначала выпишем модули всех трех слагаемых. Так как j=p/3, то В₁=m₀× I/(12× R). Далее по формуле (2.5) определим В₂. Замечая, что углы a₁=30°, a₂=90°, а расстояние r=ОС= R× sina₁=R/2, находим значение. . Для определения В₃ заметим, что в этом случае a₁=a₂=0, поэтому В₃=0. Таким образом, магнитная индукция в точке О является суммой двух векторов _О= ₁+ ₂. Определим направления векторов в правой части равенства. Поскольку контур АВС и точка наблюдения О лежат в одной плоскости, все элементарные векторы (см. формулу (2.2)), определяющие поле контура, оказываются расположенными вдоль нормали к плоскости чертежа. При этом согласно правилу правого винта векторы , образующие сумму ₁, направлены “от нас”, а образующие сумму ₂ - “к нам”. Учитывая это, можно записать скалярное равенство . Подстановка данных дает: В_О= 6.90 мкТл.

Пример 2. Плоский квадратный контур со стороной a=10 см, по которому течет ток силой I=100 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией В=1.0 Тл. Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середины противоположных сторон, на угол: 1) a₁= 90°; 2) a₂= 3°. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Дано:

В=1.0 Тл, I=100 А,

a=10 см=0.10 м,

a₁= 90°, a₂= 3°.

_________________

Определить А₁, А₂

Решение: Контур с током обладает магнитным моментом (2.9), и во внешнем магнитном поле на него действует момент силы (2.10). По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил М=0, а значит, a=0, т.е. векторы и параллельны. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то момент сил (2.10) будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Для подсчета А воспользуемся известной из курса механики формулой работы, совершаемой моментом сил М при повороте на угол da: dA= M× da. Подставляя значение М из (2.10) и р_m из (2.9), получаем dA= I× B× a²× sina× da. Интегрируя это выражение, найдем работу при повороте на конечный угол: . Работа при повороте на угол 90°: . Подставляя числовые значения в это выражение, находим А₁=1 Дж. При расчете работы А₂ удобно сразу воспользоваться малостью угла a₂= 3°= p× 3/180= p/60 рад. Для малых углов sina»a и работа . Подставив значения, А₂= 1.37 мДж.

Задачу можно решить и другим способом, используя для подсчета работы формулу (2.15): А=I× DФ. В начальном положении магнитный поток Ф₁, пронизывающий контур, равен (см. (2.13)) Ф= В× S× cos0°=B× a². После поворота на угол 90° конечный поток Ф₂=0. Работа внешних сил противоположна по знаку работе сил поля, т.е. А₁= -I× DФ= -I× (Ф₂-Ф₁)= I× В× a², что совпадает с найденным ранее выражением.

Пример 3. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U=400 В, попал в однородное магнитное поле напряженностью Н=1 кА/м. Определить радиус кривизны R траектории и частоту n обращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости перпендикулярен линиям поля.

Дано:

U=400 В, Н=1000 А/м, m_e=9.11× 10^-31 кг,

q_e=1.6× 10^-19 К, m₀=4× p× 10^-7 Гн/м

___________________________________

Определить R и n

Решение: Радиус кривизны R определим из следующих соображений: на движущийся в магнитном поле электрон действует сила Лоренца (2.12). Сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости и, следовательно, сообщает электрону нормальное ускорение. По второму закону Ньютона, F_Л=m× a_n, где а_n - нормальное ускорение, которое может быть выражено через скорость частицы V и радиус кривизны R траектории: а_n=V²/R. Таким образом, q× V× B× sina= m× V²/R и, учитывая, что угол a=90°, находим радиус R=m× V/(q× B). Неизвестный импульс m× V может быть выражен через кинетическую энергию Т электрона: , а кинетическая энергия Т, в свою очередь, определяется изменением потенциальной энергии электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U: T=q× U. Выражая также магнитную индукцию В через напряженность Н (см. (2.1)), получаем R=(2× U× m/q)^1/2/(m₀× H)= 5.37× 10^-2 м.

Для определения частоты обращения воспользуемся формулой, связывающей частоту со скоростью и радиусом: n=V/(2× p× R). Следовательно, n=q× m₀× H/(2× p× m)= 3.5× 10⁷ c^-1.

Рис.4

Пример 4. В однородном магнитном поле с индукцией В=0.1 Тл равномерно с частотой n=10 с^-1 вращается рамка, состоящая из N=10³ витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки S=150 см². Определить мгновенное значение ЭДС индукции Е_i, соответствующее углу поворота рамки j₀=30°, и среднее значение ЭДС < E_i>, индуцируемое в рамке при изменении угла j от значения j₁=0° до j₂=90°.

Дано:

В=0.1 Тл, n=10 с^-1, N=10³,

S=150 см²=0.015 м²,

j₀=30°, j₁=0°, j₂=90°.

________________________

Определить Е_i и < Е_i>

Решение: Мгновенное значение ЭДС индукции Е_i определяется основным уравнением электромагнитной индукции (2.16). Воспользовавшись формулой (2.14) для потокосцепления, получаем E_i=-N× dФ/dt. При вращении рамки (рис.4) магнитный поток Ф, пронизывающий один виток в момент времени t, определяется соотношением Ф(t)=B× S× cos(w× t), которое нетрудно получить, используя определение потока (2.13); угол j в рассматриваемом случае изменяется со временем и равен w× t. Выполнив дифференцирование по времени, найдем выражение для мгновенного значения ЭДС индукции E_i=N× B× S× w× sin(w× t). Круговая частота w связана с частотой вращения соотношением w=2× p× n. Выражая w через n и подставляя в соответствии с условием задачи значение w× t=j₀, получаем окончательную формулу E_i=N× B× S× 2× p× n × sin(j₀). Вычисление дает E_i= 47.1 В.

Среднее значение < Е_i> ЭДС индукции, генерируемой в течение некоторого промежутка времени Dt, равно < Е_i> = -DY/Dt= -N× DФ/Dt. Изменение магнитного потока DФ= Ф₂-Ф₁= -B× S× (cosj₁-cosj₂); время Dt, за которое произошло это изменение, равно Dt= (j₂-j₁)/(2× p× n). Таким образом, находим < Е_i> = 2× p× n× B× S× (cosj₁-cosj₂)/(j₂-j₁)= 60 В.

Пример 5. Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит N=1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I=4 А магнитный поток Ф=6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию W магнитного поля соленоида.

Дано:

N=1200, I=4 А, Ф=6 мкВб.

_______________________

Определить L и W

Решение: Индуктивность L, по определению, связана с потокосцеплением y соотношением y=L× I; y, в свою очередь, выражается через магнитный поток и число витков формулой (2.14). Отсюда находим индуктивность соленоида L=N× Ф/I. Энергия магнитного поля соленоида равна W=L× I²/2 (см. формулу (2.21)), или, с учетом выражения для индуктивности, W=N× Ф× I/2. Подставив численные значения получим: L=1.8 мГн, W=14.4 мДж.

Пример 6. Тороид с железным ненамагниченным сердечником, длина которого по средней линии l=1.0 м, имеет воздушный зазор шириной d=3.0 мм. По обмотке тороида, содержащей N=1300 витков, пустили ток, в результате чего индукция магнитного поля в зазоре стала В=1.0 Тл. Определить силу тока в обмотке, а также плотность энергии магнитного поля в зазоре и внутри сердечника.

Дано:

l=1.0 м, d=3.0 мм=0.0030 м,

N=1300, В=1.0 Тл.

________________________

Определить I, w_з, w_с

Решение: По условию задачи воздушный зазор в тороиде узкий, и рассеянием линий магнитной индукции в нем можно пренебречь. Поэтому через любое поперечное сечение тороида, в том числе и через сечение в воздушном зазоре, проходит один и тот же магнитный поток Ф. Так как площадь S любого сечения одна и та же, то одинаковы и значения магнитной индукции В внутри сердечника и в воздушном зазоре: В_з=В_с=1 Тл. Напряженности магнитного поля Н_з и Н_с различны, так как различны относительные магнитные проницаемости воздуха и железа. Для воздуха m=1 и тогда Н_з=В_з/m₀= 8.0× 10⁵ А/м. Напряженность магнитного поля в сердечнике Н_с найдем с помощью графика намагничения железа, приведенного на рис.8: Н_с=4.2× 10² А/м. Используя формулу (2.22), находим плотности энергии магнитного поля в зазоре и внутри сердечника: w_з=В_з× Н_з/2= 4× 10⁵ Дж/м³, w_с=В_с× Н_с/2= 2.10× 10² Дж/м³.

Для нахождения тока в обмотке воспользуемся уравнением Максвелла (2.19) о циркуляции вектора Н: . В качестве контура интегрирования выберем окружность, совпадающую со средней линией тороида. Тогда во всех точках контура L, лежащих внутри железа, Н_l=Н_с, а в зазоре Н_l=Н_з, и уравнение принимает вид: . Отсюда находим ток I= 2.0 А.

Пример 7. Складываются два колебания одинакового направления, выраженные уравнениями x₁=A₁cos([2p/T][t+t₁]), x₂=A₂cos([2p/T][t+t₂]), где А₁= 3см, А₂= 2см, t₁= 1/6 с, t₂= 1/3 с, Т= 2с. Построить векторную диаграмму сложения этих колебаний и записать уравнение результирующего колебания.

Решение: Сравнивая оба уравнения с канонической формой (2.24, а) x₁=A₁cos(wt+j₀), находим частоту этих колебаний w= 2p/T= p с^-1 и начальные фазы j₁= 2pt₁/T, j₂= 2pt₂/T. Числовые значения начальных фаз равны j₁= p/6 рад = 30°, j₂= p/3 рад = 60°. Для построения векторной диаграммы надо фиксировать какой-либо момент времени. Обычно диаграмму строят для момента времени t=0. Откладывая отрезки длиной А₁= 3 см и А₂= 2 см под углами j₁= 30° и j₂= 60° к оси ОХ и строя их сумму А = А₁ + А₂ (аналогично диаграмме, изображенной на рис.2), мы получим искомую векторную диаграмму сложения колебаний. Численные значения амплитуды и начальной фазы результирующего колебания находим с помощью формул (2.26). Вычисления дают следующие значения: А= 4.84 см, j= arctg0.898= 42°. Уравнение результирующего колебания имеет вид x(t)=4.84cos(pt+0.735) см.

Пример 8. Амплитуда колебаний заряда конденсатора электромагнитного колебательного контура за время t= 5× 10^-3 с уменьшилась на 40% от первоначального значения. За это время в контуре произошло N= 10³ полных колебаний. Найти индуктивность, емкость и логарифмический декремент затухания контура, если активное сопротивление R= 10 Ом. Чему будет равна амплитуда напряжения на конденсаторе, если в контур последовательно включить переменную ЭДС амплитуды U_m=12 В с частотой w= 0.9w_p?

Решение: Амплитуда колебаний изменяется по закону Q(t)= Q₀e^-bt, где b= R/(2L). Зная во сколько раз амплитуда уменьшилась за время t, находим b= (1/t)ln(Q₀/Q(t))= (10³/5)ln(10/6)@ 10² с^-1. Теперь легко определить индуктивность L= R/(2b)= 10/(2× 10²)= 0.05 Гн.

Для нахождения емкости С контура воспользуемся формулами (2.28) и (2.30), из которых следует, что период колебаний . Период колебаний Т находим из условий задачи: T= t/N= 5× 10^-6 с. Заметим, что период Т много меньше времени затухания t= 1/b= 0.01 с. Это означает, что членом b² можно пренебречь по сравнению с 1/LC. Таким образом, или C= (1/L)T²/(4p²)= (100/5)(5× 10^-6)²/(4× 3.14²) = 51 пФ.

Логарифмический декремент затухания можно рассчитать либо по формуле l= bT, либо по формуле l=(1/N)ln(A₀/A_N), где N= 10³, A_N= 0.6A₀. Оба способа дают одинаковый результат l= 5× 10^-4.

Для определения амплитуды вынужденных колебаний воспользуемся формулами (2.33), (2.34) и связью U_c= Q/C:

Подставив в это выражение w²=(0.9w_p)²= 0.81w_p², получаем

Заметим, что (1/(LC))= w₀= w_p²+2b². Выше уже отмечалось, что в условиях данной задачи w₀²> > b². Поэтому, пренебрегая малыми поправками, находим U_c(0.9w_p)= U_m/(0.19²)= 330 В.

Пример 9. Плоская волна распространяется вдоль прямой со скоростью V= 20 м/с. Две точки, лежащие на этой прямой на расстояниях x₁= 12 м и x₂= 15 м от источника волн, колеблются с разностью фаз Dj= 0.75p. Найти длину волны l, написать уравнение волны и найти смещение указанных точек в момент t= 1.2 с, если амплитуда колебаний источника А= 0.1 м.

Решение: Точки, находящиеся на расстоянии равном длине волны l друг от друга, колеблются с разностью фаз Dj= 2p; точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии Dx, колеблются с разностью фаз Dj= Dx× 2p/l= 2p(x₂-x₁)/l. Решая это равенство относительно l, получаем l= 2p(x₂-x₁)/(Dj), или, произведя вычисления, находим l= 8 м.

Для записи уравнения волны определим также период колебаний и круговую частоту: T= l/V= 0.4 с, w= 2p/T= 5p с^-1. Подставляя найденные величины в формулу (2.35), получаем уравнение волны x(x, t)=0.1cos(5p(t-x/20)) м.

Чтобы найти смещение x указанных точек, достаточно подставить в уравнение волны значения х и t: x₁= 0.1cos(5p(1.2-12/20))= -0.1 м, x₂= 0.1cos(5p(1.2-15/20))= 0.071 м.

4. ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ ДЛЯ ЧЕТВЕРТОЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.

Студент-заочник должен решить восемь задач из раздела 5 того варианта, номер которого совпадает с последней цифрой его шифра.

5. ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 4.

401. Магнитная стрелка помещена в центре кругового витка, плоскость которого расположена вертикально и составляет угол a =30° с плоскостью магнитного меридиана. Радиус витка R =20 см. Определить угол j, на который повернется магнитная стрелка, если по проводнику пойдет ток силой I =25 А (дать два ответа). Горизонтальную составляющую индукции земного магнитного поля принять равной B =20 мкТл.

402. По двум длинным параллельным проводам, расстояние между которыми d =5 см, текут одинаковые токи I = 10 А. Определить индукцию и напряженность магнитного поля в точке, удаленной от каждого провода на расстояние r = 5 см, если токи текут: а) в одинаковом, б) в противоположных направлениях.

403. Два бесконечных прямых проводника скрещены под прямым углом. По проводникам текут токи силой I₁ =100 А и I₂ =50 А. Расстояние между проводниками d =20 см. Определить индукцию магнитного поля в точке, лежащей на середине общего перпендикуляра к проводникам.

404. Ток силой I =50 А течет по бесконечно длинному проводнику, согнутому под прямым углом. Найти напряженность магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии h =20 см.

405. По проводнику, изогнутому в виде окружности, течет ток. Напряженность магнитного поля в центре окружности H₁ =50 А/м. Не изменяя силы тока, проводнику придали форму квадрата. Определить напряженность H₂ магнитного поля в точке пересечения диагоналей квадрата.

406. По контуру в виде равностороннего треугольника со сторонами a =20 см течет ток силой I =50 А. Определить магнитную индукцию в точке пересечения высот треугольника.

407. По проводнику, изогнутому в виде прямоугольника со сторонами a =8 см и b =12, течет ток силой I =50 А. Определить напряженность и индукцию магнитного поля в точке пересечения диагоналей.

Рис.5

408. Проводник с током I =20 А лежит в плоскости и имеет форму, показанную на рис.5. Радиус изогнутой части проводника R =40 см. Определить напряженность и индукцию магнитного поля в точке О.

409. Проводник с током I =40 А лежит в плоскости и имеет форму, показанную на рис.6. Радиус изогнутой части проводника R =20 см. Определить индукцию магнитного поля в точке О.

410. Два круговых проводника радиусами R₁ =10 см и R₂ =15 см имеют общий центр О и сориентированы в перпендикулярных плоскостях. По проводникам текут токи I₁ =20 А и I₂ =30 А. Найти напряженность магнитного поля в точке О.

Рис.6

411. Напряженность H магнитного поля в центре кругового витка равна 500 А/м. Магнитный момент витка p_m =6 А× м². Вычислить силу тока I в витке и его радиус.

412. Короткая катушка с площадью поперечного сечения S =250 см², состоящая из N =500 витков провода, по которому течет ток силой I =5 А, помещена в однородное магнитное поле напряженностью Н =1000 А/м. Найти: 1)магнитный момент p_m катушки; 2) вращающий момент М, действующий на катушку, если ось катушки составляет угол a =30° с линиями поля.

413. Виток радиусом R =20 см, по которому течет ток силой I =50 А, свободно установился в однородном магнитном поле напряженностью Н =10³ А/м. Виток повернули относительно диаметра на угол a =30°. Определить совершенную работу А.

414. Протон и a-частица, ускоренные одинаковой разностью потенциалов, влетают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус R₁ кривизны траектории протона больше радиуса кривизны R₂ траектории a-частицы?

415. Квадратный контур со стороной a =10 см, в котором течет ток силой I =6 А, находится в магнитном поле с индукцией В =0.8 Тл под углом j =50° к линиям индукции. Какую работу А нужно совершить, чтобы при неизменной силе тока в контуре изменить его форму на окружность?

416. В однородном магнитном поле с индукцией В =2 Тл движется a-частица. Траектория ее движения представляет собой винтовую линию с радиусом R =1 см и шагом h =6 см. Определить кинетическую энергию a-частицы.

417. В однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции расположен плоский контур площадью S =100 см². Поддерживая в контуре постоянную силу тока I =50 А, его переместили из поля в область пространства, где поле отсутствует. Определить индукцию магнитного поля В, если при перемещении контура была совершена работа А =0.4 Дж.

418. Два иона с одинаковыми зарядами, пройдя одну и ту же разность потенциалов, влетели в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Один ион, масса которого m₁ =12 а.е.м., описал дугу окружности радиусом R₁ =2 см. Определить массу m₂ (в а.е.м.) другого иона, который описал дугу окружности радиусом R₂ =2.31 см.

419. В однородном магнитном поле с индукцией В =0.5 Тл равномерно движется проводник длиной l =20 см. По проводнику течет ток силой I =2 А. Скорость движения проводника V =10 см/с и направлена перпендикулярно к линиям поля. Найти работу А перемещения проводника за время t =10 с и мощность Р, развиваемую при перемещении.

420. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U =300 В, движется параллельно прямолинейному длинному проводу на расстоянии a =4 мм от него. Какая сила F действует на электрон, если по проводнику пропускать ток силой I =5 А?

421. Рамка площадью S =100 см² равномерно вращается с частотой n =5 с^-1 относительно оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярной линиям индукции однородного магнитного поля (В =0.5 Тл). Определить среднее значение ЭДС индукции < E_i > за время, в течение которого магнитный поток, пронизывающий рамку, изменится от нуля до максимального значения.

422. Рамка, содержащая N =1000 витков площадью S =1000 см², равномерно вращается с частотой n =10 с^-1 в магнитном поле напряженностью Н =5× 10⁴ А/м. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям напряженности. Определить максимальную ЭДС индукции E_{i max}, возникающую в рамке.

423. В однородном магнитном поле с индукцией В =0.5 Тл вращается с частотой n =10с^-1 стержень длиной l =20 см. Ось вращения параллельна линиям индукции и проходит через один из концов стержня перпендикулярно его оси. Определить разность потенциалов U на концах стержня.

424. В проволочное кольцо, присоединенное к баллистическому гальванометру, вставили прямой магнит. При этом по цепи прошел заряд Q =50 мкКл. Определить изменение магнитного потока DФ через кольцо, если сопротивление цепи гальванометра R =10 Ом.

425. Проволочный виток диаметром D =5 см и сопротивлением R =0.02 Ом находится в однородном магнитном поле В =0.3 Тл. Плоскость витка составляет угол j =40° с линиями индукции. Какой заряд Q протечет по витку при выключении магнитного поля?

426. Соленоид сечением S =10 см² содержит N =1000 витков. Индукция В магнитного поля внутри соленоида при силе тока I =5 А равна 0.1 Тл. Определить: 1) индуктивность L соленоида; 2) среднюю ЭДС индукции < E_i >, возникающую на концах обмотки соленоида при изменении за время Dt =0.01 с магнитной индукции внутри соленоида до значения В_к =0.5 Тл.

427. Катушка, намотанная на немагнитный цилиндрический каркас, имеет N =250 витков и индуктивность L₁ =36 мГн. Чтобы увеличить индуктивность катушки до L₂ =100 мГн, обмотку катушки сняли и заменили обмоткой из более тонкой проволоки с таким расчетом, чтобы длина катушки осталась прежней. Сколько витков стало в катушке после перемотки?

428. Соленоид содержит N =600 витков. При силе тока I =10 А магнитный поток Ф =80 мкВб. Определить индуктивность L соленоида.

429. Соленоид содержит N =800 витков. Сечение сердечника из немагнитного материала S =10 см². По обмотке течет ток, создающий поле с индукцией В =8 мТл. Определить среднее значение ЭДС < E_i > самоиндукции, которая возникает на концах обмотки, если сила тока уменьшается практически до нуля за время Dt =0.8 мс.

430. Скорость горизонтально летящего самолета V =950 км/ч. Найти ЭДС индукции E_i, генерируемую на концах крыльев самолета, если вертикальная составляющая напряженности земного магнитного поля Н_в =39.8 А/м и размах крыльев самолета l =12.5 м.

431. По проводнику, изогнутому в виде кольца радиусом R =20 см, содержащему N =500 витков, течет ток силой I =2 А. Определить плотность энергии w магнитного поля в центре кольца.

432. Обмотка соленоида содержит n =20 витков на каждый сантиметр длины. При какой силе тока I плотность энергии магнитного поля в соленоиде будет w =0.1 Дж/м³? Считать, что магнитное поле соленоида во всем объеме однородно.

433. Соленоид имеет длину l =0.6 м и сечение S =10 см². При некоторой силе тока, протекающего по обмотке, в соленоиде создается магнитный поток Ф =0.1 мВб. Чему равна энергия магнитного поля соленоида? Сердечник выполнен из немагнитного материала, и магнитное поле во всем объеме постоянно.

434. При какой силе тока I в прямолинейном проводнике бесконечной длины на расстоянии r =5 см от него объемная плотность энергии магнитного поля будет w =1 мДж/м³?

435. В соленоиде сечением S =5 см² создан магнитный поток Ф =20 мкВб. Определить плотность энергии w магнитного поля соленоида. Сердечник отсутствует. Магнитное поле считать однородным во всем объеме соленоида.

436. Магнитный поток Ф в соленоиде, содержащем N =1000 витков, равен 0.2 мВб. Определить энергию W магнитного поля соленоида, если сила тока в обмотке I =1 А. Сердечник отсутствует. Магнитное поле считать однородным во всем объеме соленоида.

Рис.7

437. Тороидальная катушка содержит N =500 витков. Найти энергию W магнитного поля, если при токе I =2 А магнитный поток через поперечное сечение тора Ф =1.0 мВб.

438. Катушка индуктивности L =2.0 мкГн и сопротивление R =2.0 Ом подключены к источнику постоянной ЭДС E =3.0 В (рис.7). Параллельно катушке включено сопротивление R₀ =2.0 Ом. Найти количество тепла, которое выделится на сопротивлениях R и R₀ после размыкания ключа К. Внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало.

439. По проводнику, изогнутому в виде кольца радиусом R =30 см, содержащему N =1000 витков, течет ток силой I =5.0 А. Определить плотность энергии магнитного поля w в точке, лежащей на оси кольца и отстоящей от его центра на расстояние h =40 см.

440. Определить энергию W соленоида, содержащего N =1500 витков, если при силе тока в о