Оценка надежности электроэнергетической системы при известных вероятностях безотказной работы ее элементов

Методами Монте-Карло называют любую статистическую процедуру, включающую в себя приемы статистической выборки. Для применения метода Монте-Карло необходимо уметь разыгрывать случайную величину. Для разыгрывания случайных величин обычно используют ПК, снабженные датчиками случайных чисел.

Покажем применение метода Монте-Карло на примере решения следующей задачи. Система состоит из двух блоков, соединенных последовательно. Система отказывает при отказе хотя бы одного блока. Первый блок содержит два элемента: , они соединены параллельно, и отказывает при одновременном отказе обоих элементов. Второй блок содержит один элемент и отказывает при отказе этого элемента.

Требуется найти методом Монте-Карло:

· а) оценку надежности (вероятности безотказной работы) системы, зная вероятность безотказной работы отдельных ее элементов: , , ;

· б) абсолютную погрешность , где - надежность системы, вычисленная аналитически. Произвести 50 испытаний.

Для решения поставленной задачи требуется составление вспомогательной табл. 3.2.

Таблица 3.2

Номер испытания	Блок	Случайные числа, моделирующие элементы	Заключение о работе
			элементов	блоков	системы
	Первый Второй	0.1	0.09	0.73	+	+			_
	Первый Второй	0.25	0.33	0.76	+	+			_
	Первый Второй	0.52	0.01	0.35	+	+			+
	Первый Второй	0.86	0.34	0.67	_	+			_

Покажем правила заполнения данной таблицы. Для номера испытания 1 выберем с помощью датчика случайных чисел три случайных числа: . По правилу, известному из курса математической статистики: если случайное число меньше вероятности события, то событие наступило; если случайное число больше или равно вероятности события, то событие не наступило, разыграем события . Результаты испытаний будем записывать в расчетную табл. 3.2.

Поскольку и , то событие наступило, т.е. элемент в этом испытании работает безотказно. Так как и , то событие наступило, т.е. элемент работает безотказно. Таким образом, оба элемента первого блока работают; следовательно, работает и сам первый блок. В соответствующих клетках табл. 3.2 ставим знаки плюс.

Так как и , то событие не наступило, т.е. элемент получает отказ; другими словами, второй блок, а значит и вся система, получают отказ. В соответствующих клетках табл. 3.2. ставим знак минус.

Аналогично разыгрываются и остальные испытания. В табл. 3.2 приводятся результаты четырех испытаний.

Произведя 50 испытаний, получим, что в 28 из них система работала безотказно. В качестве оценки искомой надежности примем относительную частоту .

Найдем надежность системы аналитически. По правилам сложения и умножения вероятностей, вероятности безотказной работы первого и второго блоков соответственно равны:

Вероятность безотказной работы системы

Искомая абсолютная погрешность . Следует подчеркнуть, что с ростом числа испытаний абсолютная погрешность будет лишь уменьшаться.

Задания:

· при заданных значениях, равномерно распределенных на отрезке , случайных чисел и при известных вероятностях безотказной работы элементов разыграть 50 испытаний надежности работы электроэнергетической системы;

· результаты испытаний занести в таблицу;

· найти методом Монте-Карло оценку надежности (вероятности безотказной работы системы);

· найти надежность системы аналитически.

Методические указания

Следует уяснить, что в теории надежности существует два вида соединения объектов в систему: последовательное и параллельное. При последовательном соединении система дает отказ при отказе хотя бы одного объекта и работает безотказно, когда все объекты исправны, и, наоборот, при параллельном соединении отказ возможен только при одновременном отказе всех объектов, образующих систему, если хотя бы один объект находится в работоспособном состоянии, то и вся система будет работать. При анализе надежности системы, имеющей сложную структуру, рекомендуется применять принцип декомпозиции, т.е. расчленения системы на ряд более простых подсистем и каждую такую подсистему следует рассматривать как отдельный объект. При разыгрывании случайных событий по методу Монте-Карло рекомендуется использовать случайные числа, полученные с помощью датчика случайных чисел в приложении Excel. Функция СЛЧИС возвращает равномерно распределенное на отрезке случайное число. При аналитическом определении надежности (вероятности безотказной работы системы) необходимо воспользоваться знаниями, полученными при изучении курса высшей математики, раздела “Теория вероятности и математическая статистика”.