Понятие функции

Пусть Е есть множество чисел и пусть в силу некоторого вполне определенного закона каждому числу х из Е приведено в соответствие одно число у. Тогда говорят, что на Е задана функция, которую записывают так: y=f(x).

Это определение функции предложено Лобачевским и Дирихле (XIX век). Множество Е называется областью задания или областью определения функции f(x), х называют независимой переменной.

Функция может быть задана и в неявном виде уравнением F(x, y)=0, не разрешенным относительно у. Например, уравнение х²+у²=R², которое можно переписать в форме х²+у²-R²=0, задает неявную функцию у (уравнение y=f(x) задает функцию в явном виде).

Если функция задается только с помощью аналитического выражения без каких-либо дополнительных условий, то под ее областью определения понимают совокупность всех тех значений аргумента, для которых это выражение имеет смысл. Например, для функции y=sinx областью определения является вся числовая прямая, а для функции вся числовая прямая, из которой выколота точка х=-5, а для функции - отрезок -2£ х £ 2 и т.д.

Некоторые важные свойства функций имеют специальные наименования.