Пример решения задачи

Задача. Требуется сравнить точность обработки изделий на каждом из трех станков. С этой целью на первом станке было обработано 20, на втором 25, на третьем 26 изделий. Размеры произведенных изделий (и количество изделий каждого размера) оказались следующими: первый станок: размер изделия 2; 4; 6; 8; 9; количество изделий 5; 6; 3; 2; 4; второй станок: размер изделия 1; 2; 3; 5; 7; 8; 12; количество изделий 2; 4; 5; 6; 3; 5; 1; третий станок: размер изделия 2; 3; 4; 7; 8; 10; 14; количество изделий 3; 5; 4; 6; 3; 2; 3.

Можно ли при уровне значимости 0, 05 считать, что СКО от стандартного размера изделия на всех трех станках одинаково?

Решение. Пусть Х ₁={размер изделия, изготовленного на первом станке}, Х ₂={размер изделия, изготовленного на втором станке}, Х₃ ={размер изделия, изготовленного на третьем станке}

В задаче речь идет о проверке гипотезы . Воспользуемся для этого критерием Бартлетта. Находим выборочные средние и СКО:

;

Находим (количество станков),

Считаем величину

Далее вычисляем V:

Рассчитываем величину С:

Следовательно, наблюдаемое значение критерия Бартлетта

Из прил. 3 находим критическую точку для , Получаем Поскольку , то гипотеза принимается.

Ответ: СКО на всех трех станках различаются незначимо.

13. СРАВНЕНИЕ СТАНДАРТНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ НЕСКОЛЬКИХ

НОРМАЛЬНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ПО ВЫБОРКАМ

ОДИНАКОВОГО ОБЪЕМА (КРИТЕРИЙ КОЧРЕНА)

Постановка задачи. Имеется выборка значений нескольких нормальных СВ одинакового объема . СКО случайных величин обозначим через соответственно. Необходимо при заданном уровне значимости проверить основную гипотезу о равенстве между собой всех СКО .

Комментарий к постановке задачи. Данную задачу можно решить с помощью критерия Бартлетта (разд. 12), который решает более общую задачу (случай выборок различного объема). Однако, как часто в жизни случается, универсальное средство часто оказывается не так эффективно при решении конкретной проблемы, поэтому необходимо изучить метод, который существенно использует условие равенства объемов выборок.

План решения. По выборкам СВ определяем их выборочные СКО . Пусть – максимальное значение среди вычисленных выборочных СКО, .

Наблюдаемоезначение критерия вычисляется по формуле:

(14)

Критическая точка критерия определяется из прил. 6 по числам . Если , то нулевая гипотеза принимается, в противном случае нулевая гипотеза отвергается.