Примеры решения задач. Задача 1. В течение дня замерялось число пассажиров в маршрутных такси № 100 и № 200

Задача 1. В течение дня замерялось число пассажиров в маршрутных такси № 100 и № 200. Число пассажиров в маршрутках № 100: 7, 5, 6, 3, 6, 9, 12, 2; число пассажиров в маршрутках № 200: 11, 12, 9, 9, 10, 9, 13, 11, 8, 5, 9, 12, 2, 3.

При уровне значимости 0, 05 проверить или опровергнуть гипотезу о том, что колебания пассажиропотока на обоих маршрутах не различаются сдвигом.

Решение. Пусть X = {число пассажиров в маршрутке №100}, Y = {число пассажиров в маршрутке № 200}. Необходимо проверить гипотезу о том, что СВ X, Y не различаются сдвигом.

Объемы выборок таковы: . Поскольку , то необходимости в переобозначении СВ нет. Составляем общую возрастающую последовательность значений в обеих выборках (элементы первой выборки выделены жирным шрифтом): 2, 2, 3, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 13. Позиции выделенных элементов таковы: 1, 3, 5, 7, 8, 9, 11, 19. Следовательно,

Поскольку объемы обеих выборок не превосходят 25, то критическую точку находим из приложения 7 для чисел 8, 14, 0, 025. Имеем . Вторая критическая точка определяется как:

(17)

Так как , то основная гипотеза принимается.

Ответ: колебания пассажиропотока в обеих маршрутках не различаются сдвигом.

Задача 2. Между городами А и Б курсируют два пассажирских поезда. Поезд № 1 отправляется из города Б ежедневно, а поезд А – только по четным числам месяца. В течение одного месяца (30 дней) подсчитывали, сколько человек едет в вагоне СВ обоих поездов. Число пассажиров в вагоне СВ поезда № 1: 6, 4, 15, 16, 17, 15, 16, 14, 18, 12, 9, 18, 6, 15, 3; число пассажиров в вагоне СВ поезда № 2: 5, 4, 0, 11, 6, 9, 13, 3, 15, 3, 16, 8, 1, 12, 8, 9, 10, 15, 15, 10, 10, 8, 6, 0, 0, 11, 8, 18, 13, 17.

При уровне значимости 0, 05 сделать вывод о совпадении (различии) колебания числа пассажиров в поездах № 1 и 2.

Решение. Пусть X = {число пассажиров в вагоне СВ поезда № 1}, Y = {число пассажиров в вагоне СВ поезда № 2}. Необходимо проверить гипотезу о том, что СВ X, Y не сдвинуты друг относительно друга.

Объемы выборок таковы: . Поскольку , то необходимости в переобозначении СВ нет. Составляем общую возрастающую последовательность значений в обеих выборках (элементы первой выборки выделены жирным шрифтом): 0, 0, 0, 1, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 18.

Позиции выделенных элементов таковы: 5, 8, 11, 12, 19, 27, 31, 32, 33, 34, 38, 39, 41, 43, 44.

Следовательно,

Поскольку объем одной из выборок превосходят 25, то вначале с помощью прил. 2 находим точку как , следовательно, . Тогда

(18)

Вторая критическая точка рассчитывается как

Так как , то основная гипотеза принимается.

Ответ: колебания пассажиропотока в обоих поездах не различаются сдвигом.

15. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ

ГЕНЕРАЛЬНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ПО КРИТЕРИЮ ПИРСОНА

Постановка задачи. Пусть выборка СВ Х задана в виде наблюдаемых значений и соответствующих им частот. Значение: , , … ; частота , , … .

Будем считать, что разность между соседними значениями в таблице одинакова для всех соседних ячеек и равна .

Требуется при заданном уровне значимости проверить гипотезу о том, что СВ X распределена нормально.

Комментарий к постановке задачи. Все изученные выше методы проверки гипотез (кроме критерия Вилкоксона) применимы только для нормальных СВ. Поэтому проверка СВ на «нормальность» принципиально важна. Приведем все способы такой проверки:

1. По смыслу СВ. Как правило, нормальными случайными величинами будут СВ, касающиеся параметров (вес длина и пр.) изготовляемых деталей при массовом производстве.

2. По виду гистограммы. По выборке значений СВ можно построить гистограмму: у нормальной СВ она должна быть «горбатой» (см. рис. 4).

3. Проверка гипотеза о «нормальности» СВ. Этот способ самый предпочтительный, поскольку два первых метода не могут дать уверенного ответа: у гистограммы может не оказаться ярко выраженного горба, и смысл СВ тоже может быть неясным.

План решения. Найтивыборочноесреднее и выборочное СКО . Находим теоретические частоты по формуле:

(19)

где – сумма всех частот, , а значения функции выбираются из прил. 1. При нахождении значений функций необходимо пользоваться следующими ее свойствами: 1) (четность), 2) при .

Есть и другой способ нахождения теоретических частот [2].

Наблюдаемое значение критерия равно:

(20)

По прил. 3 находим критическую точку для данного уровня значимости и . Если , то гипотеза о нормальном распределении СВ Х принимается и в противном случае она отвергается.

Замечание. Если частота большинства значений небольшая (менее 5), то подсчет теоретических частот нужно проводить по-другому. Для этого следует разбить область значений СВ на интервалы и посчитать частоту попадания в каждый интервал. В качестве значений взять середины интервалов, и далее действовать описанным выше способом.