Изучение свободных колебаний пружинного маятника.

ТЕОРИЯ

Механическим колебательным движением называется процесс, при котором система (материальная точка, тело, система тел), многократно отклоняясь от положения равновесия, вновь возвращается к нему.

Колебания называются периодическими, если система проходит положение равновесия через равные промежутки времени.

Гармоническими называются такие периодические колебания, при которых колеблющаяся величина х изменяется со временем по закону синуса или косинуса (рис.1).

(1)

где х – смещение тела от положения равновесия;

А – амплитуда колебаний – максимальное смещение тела от положения равновесия;

(ω ₀t+φ ₀) - фаза – величина, определяющая смещение тела в любой момент времени t.

φ ₀ - начальная фаза колебаний (при t = 0);

ω ₀ – циклическая частота собственных колебаний – число полных колебаний за цикл,

, (2)

где ν ₀ – частота колебаний, т.е. число полных колебаний в единицу времени,

Т – период колебаний, т.е. время одного полного колебания.

Скорость колеблющегося тела определяется как первая производная перемещения по времени (если φ ₀ =0):

(3)

где - амплитуда скорости.

Ускорение колеблющегося тела определяется как первая производная скорости по времени или вторая производная перемещения по времени (если φ ₀ =0):

(4)

где - амплитуда ускорения.

С учетом формулы (1) . Заменив в этом выражении ускорение второй производной от смещения по времени получим

(5)

Выражение (5) – дифференциальное уравнение колебательного движения. Из него следует, что если вторая производная какой-либо величины (например, смещения) пропорциональна самой величине (смещению) с противоположным знаком, то данная физическая величина (смещение) изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

Колебательная система будет совершать свободные колебания, если её вывести из положения равновесия и предоставить самой себе. Со свойствами свободных колебаний можно ознакомиться на примере пружинного маятника – это система, состоящая из груза, массой m, и упругой пружины, с коэффициентом жесткости k, совершающая колебания под действием силы упругости (рис.2).

Маятник совершает колебания около положения равновесия, двигаясь возвратно-поступательно. По второму закону Ньютона:

(6)

где

Жесткость пружины k – это физическая величина, численно равная внешней силе (| F_вн | = F_упр), вызывающей единичное (x= ∆ l= 1) удлинение пружины.

В проекции на направление движения: .

Ускорение маятника , т.е. ускорение пропорционально смещению и направлено к положению равновесия. Уравнение движения пружинного маятника в дифференциальной форме записывается в виде:

(7)

Решение этого уравнения имеет вид:

(8)

Формула (8) определяет смещение х пружинного маятника в любой момент времени. Сравнив выражение (7) и уравнение (5) получим, что:

Тогда частота собственных колебаний ω ₀ будет равна

(9)

Используя соотношение (2) определим период колебаний пружинного маятника

(10)

Опыт показывает, что свободные колебания пружинного маятника затухают – отклонения груза от положения равновесия со временем убывают (рис.3). Причиной затухания колебаний в пружинном маятнике является сила сопротивления среды и связанная с этой силой диссипация энергии – превращение энергии колебаний во внутреннюю.

Уравнение движения маятника в этом случае можно записать:

(11)

где F_с - сила сопротивления среды.

При малых скоростях υ:

(12)

где r – коэффициент сопротивления среды.

Формулу (9) в проекции на направление движения можно записать в виде:

Заменив, скорость и ускорение получим:

Разделив это уравнение на массу тела и обозначив: , , получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

(13)

Этому уравнению удовлетворяет функция

(14)

где – частота затухающих колебаний. Тогда период затухающих колебаний будет равен

Т.о. если на тело, кроме силы упругости, действует сила сопротивления среды, то тело будет совершать колебательное (но не гармоническое) движение с частотой, зависящей от массы, жесткости пружины и коэффициента затухания. Амплитуда колебаний будет с течением времени уменьшаться по экспоненциальному закону:

Отношение значений амплитуд затухающих колебаний в моменты времени t и t+T определяется:

Пусть τ – промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в e раз, тогда , откуда или , т.е. коэффициент затухания – это физическая величина, обратная промежутку времени τ, за который амплитуда колебаний уменьшается в e раз. Время τ называется временем релаксации.

Натуральный логарифм отношения амплитуд колебаний, следующих друг за другом через промежуток времени равный периоду колебаний, называется логарифмическим декрементом затухания λ:

(15)

Таким образом , т.е. коэффициент затухания равен отношению логарифмического декремента к периоду колебаний. Измерив опытным путем λ и период колебаний, можно вычислить β. Для этого измеряют две амплитуды, отстоящие во времени на n периодов. Равенство отношений: ; ; ….. позволяет записать:

следовательно , откуда

(16)

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Определение жесткости пружины.

2. Определение периода свободных затухающих колебаний, циклической частоты, логарифмического декремента затухания, коэффициента затухания.

МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ

а) Определение жесткости пружины.

Установка состоит из пружины, подвески П массой m₀, нескольких грузов массами по 0, 1 кг, указателя Д, прикреплённого на пружине и перемещающегося вдоль шкалы Н (рис. 4). Согласно формуле (5), зная F_внеш., удлинение пружины x (x = Δ l) и помня, что | F_{внеш .}| = | F_{упр .}|, жесткость пружины определяют по формуле

б) Определение периода свободных затухающих колебаний, циклической частоты, логарифмического декремента затухания, коэффициента затухания.

Для решения этих задач используется та же установка.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

А. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЖЕСТКОСТИ ПРУЖИНЫ.

ОБОРУДОВАНИЕ: пружинный маятник, набор грузов, линейка.

ХОД РАБОТЫ:

1. Отмечают начальное положение l ₀ указателя на миллиметровой вертикальной шкале.

2. Подвешивают на пружину груз m₁ = 0, 1 кг. Фиксируют новое положение l ₁ указателя на шкале.

3. Определяют абсолютное удлинение пружины .

Повторяют опыт с тремя и пятью грузами общей массой соответственно m₂ = 0, 3 кг и m₃ = 0, 5 кг. Фиксируют соответствующие массам положения указателя l ₂ и l ₃ и, определяют абсолютные удлинения пружины ∆ l ₂ и ∆ l ₃.

4. Вычисляют для каждого опыта деформирующую силу по формуле:

5. Вычисляют для каждой деформирующей силы жесткость пружины по формуле:

6.

7. Результаты заносят в таблицу 1.

Таблица 1.

Б. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА СВОБОДНЫХ (ЗАТУХАЮЩИХ) КОЛЕБАНИЙ, ЦИКЛИЧЕСКОЙ ЧАСТОТЫ И ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ДЕКРЕМЕНТА ЗАТУХАНИЯ

ОБОРУДОВАНИЕ: пружинный маятник, набор грузов, секундомер, линейка

ХОД РАБОТЫ.

1. Подвешивают на пружину все 5 грузов.

2. Фиксируют и записывают величину l ₀ - положение равновесия нагруженного маятника.

3. Задают величину A₀ - начальную амплитуду (A₀ = 0, 04÷ 0, 06 м). Это определит величину - начальную отметку на шкале, до которой нужно оттянуть вниз от положения равновесия маятник для начала свободных колебаний.

4. Отпускают оттянутый вниз маятник, одновременно запускают секундомер и отсчитывают 50 полных колебаний (считать число полных колебаний по моментам возвращения маятника в нижнее положение максимального отклонения).

5. Останавливают секундомер при счете «50» и одновременно проводят отсчет положения l _кон. - деления шкалы, до которого опустился указатель на пятидесятом колебании. Снимают грузы с подвески.

6. Рассчитывают конечную амплитуду А_n = l_кон. - l ₀.

7. Полученные данные заносят в таблицу 2.

Таблица 2.

8. Вычисляют период колебаний: .

9. Вычисляют циклическую (круговую) частоту по формуле (2).

10. Вычисляют коэффициент затухания по формуле 16, (n=50).

11. Вычисляют логарифмический декремент затухания

12. Вычисляют теоретическую величину периода колебаний

,

где k_{ср .}- среднее значение жесткости (см.задание А)

13. Вычисляют начальную фазу колебаний φ ₀, помня, что х₀ =- A₀ и х₀ = A₀· sin φ ₀, где х₀ -величина начального смещения. Отсюда sin φ ₀ = -1, φ ₀ = arcsin(-1).Вычисляют значение φ ₀ в радианах.

14. Все полученные данные заносят в таблицу 2.

15. Записывают кинематическое уравнение свободных (затухающих) колебаний для исследуемого пружинного маятника. Для этого подставляют соответствующие числовые значения из таблицы 2 в уравнение:

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ.

1. Дайте определение механического колебания.

2. Какие колебания называются гармоническими?

3. Перечислите физические величины, характеризующие колебательное движение. Поясните их физический смысл.

4. Запишите дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний и его решение.

5. Запишите дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение.

6. Сформулируйте физический смысл коэффициента затухания.

7. Что называют логарифмическим декрементом затухания?

ЛИТЕРАТУРА

1. Р. И. Грабовский. «Курс физики». – СПб.: «Лань», 2009.