Методом линейного программирования

В основе оптимизации режимов резания методом линейного программирования лежит построение математической модели, кото­рая включает совокупность технических ограничений, приведенных к линейному виду логарифмированием, и упрощенный вид целевой функции. Для решения этой задачи на ЭВМ могут быть использованы различные численные методы (метод перебора, симплекс–метод и др.), а также графический метод, наглядно представляющий мате­матическую модель процесса резания.

Следует отметить, что качество математической модели процесса резания металлов, и в первую очередь ее достоверность, зависит от выбора технических ограничений, которые в наибольшей степени определяют описываемый процесс. Наиболее важными ограниче­ниями являются следующие: режущие возможности инструмента; мощность электродвигателя привода главного движения; заданная производительность станка; наименьшая и наибольшая скорости резания и подача, допускаемые кинематикой станка; прочность и жесткость режущего инструмента; точность обработки; шерохо­ватость обработанной поверхности.

Рассмотрим особенности построения технических ограничений для наиболее распространенных методов обработки — продольного наружного точения и фрезерования торцовыми и цилиндрическими фрезами.

Ограничение 1. Режущие возможности инструмента. Это огра­ничение устанавливает связь между скоростью резания, определяемой принятой стойкостью инструмента, его геометрией, глубиной резания, подачей и механическими свойствами обрабатываемого материала, с одной стороны, и скоростью резания, определяемой кинематикой станка, с другой.

Скорость резания для различных видов обработки определяется по формуле:

,

где С_v — постоянный коэффициент, характеризующий нормативные условия обработки;

D — диаметр обрабатываемой детали (или инструмента), мм;

k_v — поправочный коэффициент, учитывающий качество обрабатываемого материала, состояние поверхности заго­товки, характеристику режущего инструмента;

Т — принятая стой­кость инструмента, мин;

т — показатель относительной стойкости;

t —глубина резания, мм;

s — подача, мм/об, мм/мин;

z — число зубьев режущего инструмента;

В_ф — ширина фрезерования, мм;

Х_v, Y_v, U_v, Z_v, r_v — показатели степеней или переменных в формуле скорости резания.

С другой стороны, скорость резания определяется кинематикой станка согласно зависимости:

v = nD× n× 10 ^-3.

Приравнивая правые части формул и сделав пре­образования, получают выражение первого технического ограни­чения в виде неравенства:

.

Это техническое ограничение достаточно просто приводится к виду, описывающему конкретный вид обработки. Так, для продольного наружного точения можно получить, имея в виду значения коэф­фициентов Z_v=0, U_v=0, r_v=0, следующее неравенство:

.

Ограничение 2. Мощность электродвигателя главного движения станка. Этим ограничением устанавливается взаимосвязь между эффективной мощностью, затрачиваемой на процесс резания, и мощ­ностью электропривода главного движения станка. Эффективная мощность, затрачиваемая на процесс резания при различных видах обработки, определяется по формуле:

,

где С_z — постоянный коэффициент, характеризующий условия обра­ботки;

k_z — общий поправочный коэффициент на мощность, учиты­вающий изменение условий обработки против нормативных;

kc_z, — поправочный коэффициент, учитывающий отдельный вид обработки;

x_z, z_z, n_z, у_z, и_z, r_z — показатели степени при t, D, n, s, z и B_ф.

Учитывая необходимое условие протекания процесса резания, можно получить следующее неравенство:

,

где N_n — мощность электродвигателя главного привода станка, кВт;

h — КПД механизма передачи от электродвигателя к инстру­менту.

Приравнивая правые части выражений, полу­чаем второе техническое ограничение в виде неравенства:

.

Ограничение 3. Заданная производительность станка. Этим огра­ничением устанавливается связь расчетных скорости резания и по­дачи с заданной производительностью станка. Исходя из соотно­шения продолжительности цикла работы станка Т_ц, основного техно­логического t₀ и вспомогательного непрерывного tвн времени, можно получить выражение для третьего технического ограничения:

,

где R — заданная производительность станка, шт/мин;

К₃ — коэф­фициент загрузки станка;

r_R — число деталей, обрабатываемых одновременно на одной позиции;

L — длина рабочего хода инстру­мента, мм.

Ограничения 4 и 5. Наименьшая и наибольшая допустимые ско­рости резания. Эти ограничения устанавливают взаимосвязь расчет­ной скорости резания с кинематикой станка по минимуму и макси­муму. Они записываются в следующем виде:

Ограничения 6 и 7. Наименьшая и наибольшая допустимые по­дачи. Эти ограничения аналогично двум предыдущим устанавливают взаимосвязь расчетной подачи с подачей, допустимой кинематикой станка по минимуму:

и максимуму:

.

Ограничение 8. Прочность режущего инструмента. Это ограни­чение устанавливает взаимосвязь между расчетными значениями скорости резания и подачи и допустимыми по прочности режущего инструмента. В основу построения этого ограничения закладывают условия нагружения режущего инструмента, например резца, как консольной балки с приложением на ее конце усилия, равного окруж­ной составляющей силы резания Рz. В этом случае предел прочности материала державки резца при изгибе определяется зависимостью:

,

где М_изг = P_zl_вр — изгибающий момент в месте закрепления дер­жавки резца на расстоянии

l_вр – вылета резца от точки приложения окружной силы, кг/мм²;

к_зп — коэффициент запаса прочности;

W — момент сопротивления сечения державки резца, мм².

Выражая окружную силу резания в зависимости от элементов режимов резания, а также учитывая форму державки (для прямо­угольного сечения шириной В и высотой Н момент сопротивления равен W=ВН2/Е) и значение предела прочности для незакаленной углеродистой конструктивной стали s = 20 — 24 кг/мм2, можно получить после некоторых преобразований следующее ограни­чение:

.

Ограничение 9. Жесткость режущего инструмента. Это ограни­чение устанавливает взаимосвязь между расчетными значениямискорости резания и подачи и допустимыми по жесткости режущего инструмента. Известно, что максимальная нагрузка, допускаемая жесткостью резца Рж.доп, определяется по формуле

,

где f — допустимая стрела прогиба резца, мм;

Е — модуль уп­ругости материала резца (для конструктивной стали E=(2 — 2, 5)× 10⁴ кг/мм²);

I — момент инерции державки рез­ца, мм⁴.

Величина допустимого прогиба резца f зависит от требуемой точности обработки и может быть принята для чернового и полу­чистового точения равной 0, 1 мм, а для чистового — 0, 05 мм. Момент инерции державки резца зависит от ее формы. Для прямоугольного сечения с шириной В и высотой Н он определяется по формуле I = ВН3/12. Из условия соотношений окружной составляющей Pz и максимальной нагрузки, допускаемой жесткостью резца, и после соответствующего представления Рz через элементы режима резания получают девятое ограничение в виде неравенства Pz £ Pж.доп, а после подстановки значений:

.

Ограничение 10. Жесткость заготовки. Это ограничение устанав­ливает взаимосвязь расчетных значений скорости резания и подачи с допустимыми. Из-за многообразия форм заготовок невозможно получить общие зависимости для описания рассматриваемого вида технического ограничения. Поэтому остановимся на его построении для точения гладкой цилиндрической заготовки и закрепления ее в центрах.

В основу этого ограничения положено условие, при котором величина прогиба у_с заготовки под действием радиальной состав­ляющей силы резания Р_у должна быть меньше или равна допустимому прогибу у_доп, т.е. у_с £ у_доп.

Из рис. 16.1. видно, что допустимый прогиб должен быть меньше величины допуска на размер: у_доп£ 0, 5d, где d — допуск на раз­мер, мм. Величина прогиба заготовки:

У_с = Р_ух²_р(L_з – х_р)²/3ЕIL_з,

где L₃ — длина заготовки, мм;

х_р — расстояние от правого торца до места приложения силы (до резца), мм;

I = pD⁴_пр /64 — момент инерции сечения заготовки в месте искомого прогиба, мм⁴;

D_пр — приведенный диаметр ступенчатого вала, мм.

После преобразования рассмотренных формул и подстановки в них значения получим техническое ограничение по жесткости заготовки:

Ограничение 11. Прочность механизма подач станка. Это ограни­чение устанавливает взаимосвязь расчетных скоростей резания и подачи с допустимыми по прочности механизма подач станка. Имеет место обобщенная зависимость определения силы для различ­ных видов обработки

P_s = C_s .

При продольном наружном точении коэффициенты z_s, u_s, r_s равны нулю, а при фрезеровании коэффициент n_s=0. В общем виде огра­ничение имеет вид P_s£ P_{S доп}. Значение P_{S доп} находят в паспортных данных металлорежущего станка. Подставив в это неравенство выражение для P_s,

Рисунок 16.1 - Схема деформации заготовки при точении под действием радиальной составляющей силы резания.

получим техническое ограничение по прочности механизма подач станка:

Ограничение 12. Требуемая шероховатость поверхности. Это огра­ничение устанавливает взаимосвязь расчетных скорости резания и подачи с допустимыми по требуемой высоте или форме шерохо­ватости.

Известно, что выбор скорости резания и особенно подачи при получистовой и чистовой обработке очень часто определяется тре­буемой шероховатостью поверхности. В основу этого ограничения могут быть положены многочисленные экспериментальные зависи­мости для различных характеристик шероховатости поверхности R (Ra, Rz, Rmax), шага микронеровности Sm, величины опорной по­верхности tp, которые представляются в виде следующих выражений мультипликативного типа:

,

где j₁, j, r — параметры геометрии режущей части инструмента;

k₁, k_2, k_{3, …,} k₇ — экспериментально установленные коэффициенты.

После преобразования с учетом обеспечения требуемого значения шероховатости получают техническое ограничение также в виде неравенства:

Знак неравенства определяется видом характеристики шеро­ховатости. В тех случаях, когда требуется одновременно обеспечить несколько характеристик шероховатости, рассматриваемое техни­ческое ограничение представляется в виде нескольких неравенств. Так, для обеспечения при наружном продольном точении заготовки из стали 45 шероховатости Ra и шага микронеровностей Sm могут быть использованы для построения технических ограничений сле­дующие зависимости:

Ra = 0.16 ; Sm = 0.81 .

где у — передний угол резца.

Выбранные и описанные выше технические ограничения, отра­жающие с определенной степенью точности физический процесс резания в совокупности с критерием оптимальности, образуют мате­матическую модель процесса резания.

При определении режимов резания широкое применение для двух элементов п и s имеет метод линейного программи­рования, общая задача которого состоит в определении неотри­цательных значений переменных, удовлетворяющих системе ограничений в виде линейных равенств и неравенств и обеспечивающих наибольшее или наименьшее значение некоторой линейной функции — критерия оптимальности.

Таким образом, первая задача, которая должна быть решена, — это приведение всех технических ограничений и оценочной функ­ции к линейному виду. Для примера рассмотрим приведение к линей­ному виду первого технического ограничения методом лога­рифмирования:

ln n + y_v ln s £ ln ().

Введя обозначения ln п = х₁, ln(100s) =х₂, ln () = b₁

и подставив их в неравенство, получим: x₁+y_vx₂ £ b₁.

Аналогично могут быть получены в линейном виде зависимости для других технических ограничений.

Анализ ранее рассмотренных видов и критериев оптимальности показывает, что при оптимизации по двум элементам режимов реза­ния п и s без изменения глубины резания, стойкости инструмента и других технических факторов эти оценочные функции при введении ряда упрощений выражаются через п и s достаточно просто. Так, для минимальной себестоимости операции можно записать С_оп = С₁/(п s), где с₁ — постоянная величина, не зависящая от режимов резания п и s.

Из этого выражения видно, что значение оценочной функции является наименьшим, когда произведение ns максимальное. В этом случае при приведении оценочной функции к линейному виду можно получить:

f ₀ = (x1+x2) ® max.

Преобразование технических ограничений к линейному виду и представление их в виде системы неравенств в совокупности с оце­ночной функцией дает математическую модель процесса резания металлов

Математическая модель процесса резания может быть изобра­жена в графическом виде. В этом случае каждое техническое огра­ничение представляется граничной прямой, которая определяет полуплоскость, где возможно существование решений системы неравенств. Граничные прямые, пересекаясь, образуют многоуголь­ник ABCDEF, внутри которого любая точка удовлетворяет всем без исключения неравенствам. Поэтому этот многоугольник принято называть многоугольником решений (рисунок 16.2.).

Рисунок 16.2 -Графическое изображение математической модели процесса резания

Теория линейного программирования показывает, что экстре­мальное значение оценочной функции (при выпуклом многоуголь­нике решений) обеспечивается для х₁ и х₂, находящихся в точке, лежащей на одной из граничных прямых или их пересечении.

Поэтому задача отыскания оптимальных значений х_[от и х_2опт сводится к последовательному вычислению координат всех возмож­ных точек пересечения граничных прямых и затем определению для них наибольшей суммы

f = (х₁+х₂)_таx.

После определения координат х_1опт и х_2опт вычисляют оптималь­ные значения элементов режима резания по формулам:

n_опт = exp(х_1опт), s_опт = = exp(х_2опт)/100.

Для определения оптимального решения задачи, заданной систе­мой линейных уравнений и неравенств, обычно используется метод полного перебора точек, образующих выпуклый многоугольник возможных решений. Определяются попарно точки пересечения прямых и подставляются координаты этих точек в неравенства системы. Точка, координаты которой удовлетворяют всем без исклю­чения прямым (проверка на совместимость системы уравнений) и одновременно сумма координат которой (xi + x₂) является наиболь­шей, и будет точкой оптимума.

Последовательность решения задачи следующая.

1. Рассматривается пара прямых и производится их проверка
на параллельность.

2. Если прямые параллельны, то рассматривается следующая
пара, а если нет, то определяются координаты х₁ и х₂ точки их пере­
сечения.

3. Проверяются знаки координат. Если координаты положи­тельны, то путем подстановки в каждое из неравенств найденных
значений х₁ и х₂ определяют, находится ли точка в области возмож­ных решений. Если хотя бы одно из неравенств- не удовлетворяется,
то эта точка отбрасывается и проводится такой же анализ следую­
щей пары.

4. Если х₁ и х₂ положительны и удовлетворяют всем без исклю­чения неравенствам, то определяется сумма координат t₀=х₁+x₂
и запоминается в виде некоторого значения А. Все вышеописанные
действия производятся до тех пор, пока не будут рассмотрены все
пары прямых.

5. В случае противоречивости исходных данных может оказаться,
что области возможных решений нет. Признаком несовместности
системы является равенство нулю величины А, которая в противном
случае равна сумме координат х₁ +х₂, являющихся решением задачи.

6. Если решение находится на прямой, параллельной прямой
оценочной функции, то в качестве решения принимаются координаты
той точки, у которой больше координата х₂ (т. е. при большем зна­чении подачи).

7. Если система неравенств совместна и найдена точка, сумма координат которой х₁ +х₂ является наибольшей, то опти­мальная частота вращения n = е^x1 и оптимальная подача s = е^x2/100.

Эта же задача может решаться графически. Оценочная функция fo = х₁+х₂ изображается прямой, перпендикулярной к вектору максимизации М (рис.7.2.). Так как направление вектора М есть на­правление возрастания линейной функции f₀, то следует ожидать, что в первой точке касания F с многоугольником решения она примет минимальное значение f_0min, а в последней точке С — максимальное значение f_omax. Следовательно, вершина многоугольника решений С является точкой оптимума, а ее координаты Х_1с и Х_2С — оптималь­ным решением системы.

Рисунок 16.3 – Схема алгоритма оптимизации режимов механической обработки для дискретных значений параметров v и s.

Рисунок 16.4 – Результат автоматизированного расчета

Рисунок 16.5 - Графическое изображение математической модели процесса резания

В результате автоматизированного проектирования была получена распечатка таблицы, в которой приведены значения режимов резания и график на рассчитываемую поверхность.