Прямые и итерационные методы.

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Определить два класса численных методов (прямые и итерационные); показать, как строятся прямые методы Гаусса, LU-факторизации, Холесского; выполнить оценку их эффективности.

Основная задача вычислительной алгебры – решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

В дальнейшем будем использовать запись этой системы в компактной форме:

(запись

означает, что индекс i изменяется от 1 до n с шагом 1), или в векторном виде

Предполагается, что матрица

неособенная, т. е.

, и решение единственно.

Численные методы решения СЛАУ делятся на две большие группы: прямые и итерационные.

Прямые методы при отсутствии ошибок округления за конечное число арифметических операций позволяют получить точное решение

. В итерационных методах задается начальное приближение

и строится последовательность

где k – номер итерации. В действительности итерационный процесс прекращается, как только

становится достаточно близким к

Имеется промежуточный класс методов, в которых решение ищется итерационно, однако для них заранее известно, какое число итераций необходимо выполнить, чтобы в отсутствии ошибок округления получить точное решение. На практике при вычислении приближенного решения число итераций в наиболее эффективных методах оказывается значительно меньшим, чем этого требует теория точного решения.

Какой класс методов лучше? Однозначно на этот вопрос ответить нельзя. Итерационные методы привлекательнее с точки зрения объема вычислений и требуемой памяти, когда решаются системы с матрицами высокой размерности. При небольших порядках системы используют прямые методы либо прямые методы в сочетании с итерационными методами.