Прямые и итерационные методы.

Часть 2. системЫ линейных

АлгебраичЕских уравнений

Лекция 2

ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Определить два класса численных методов (прямые и итерационные); показать, как строятся прямые методы Гаусса, LU-факторизации, Холесского; выполнить оценку их эффективности.

Постановка задачи.

Основная задача вычислительной алгебры – решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

В дальнейшем будем использовать запись этой системы в компактной форме:

(запись означает, что индекс i изменяется от 1 до n с шагом 1), или в векторном виде

,

Предполагается, что матрица неособенная, т. е. , и решение единственно.

Прямые и итерационные методы.

Численные методы решения СЛАУ делятся на две большие группы: прямые и итерационные.

Прямые методы при отсутствии ошибок округления за конечное число арифметических операций позволяют получить точное решение . В итерационных методах задается начальное приближение и строится последовательность

,

где k – номер итерации. В действительности итерационный процесс прекращается, как только становится достаточно близким к .

Имеется промежуточный класс методов, в которых решение ищется итерационно, однако для них заранее известно, какое число итераций необходимо выполнить, чтобы в отсутствии ошибок округления получить точное решение. На практике при вычислении приближенного решения число итераций в наиболее эффективных методах оказывается значительно меньшим, чем этого требует теория точного решения.

Какой класс методов лучше? Однозначно на этот вопрос ответить нельзя. Итерационные методы привлекательнее с точки зрения объема вычислений и требуемой памяти, когда решаются системы с матрицами высокой размерности. При небольших порядках системы используют прямые методы либо прямые методы в сочетании с итерационными методами.