Анализ устойчивости дискретных систем.

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Рассмотрим вопрос исследования устойчивости при описании дискретных систем уравнениями состояния. Устойчивость определяется характером собственных движений дискретной системы, т.е. характером движений под действием только ненулевых начальных условий. Если входное воздействие отсутствует, уравнение состояния (63) принимает вид

Устойчивость системы (66), а следовательно, и исходной неоднородной системы (63) определяется собственными числами матрицы Ф, т.е. корнями характеристического уравнения

то система устойчива. Если существует хотя бы один корень такой, что

, то импульсная система, описываемая уравнением (63), неустойчива. Случай, когда

, является критическим. При этом система устойчива, если данный корень имеет первый порядок кратности.

При использовании математического описания импульсных систем в терминах пространства состояний оказывается возможным применить простой и удобный в вычислительном отношении критерий устойчивости. Справедливы утверждения:

Если все корни характеристического уравнения (67)

При этом в уравнении (69) может использоваться любая из известных форм нормы матрицы. Справедливо и обратное утверждение, т.е. из условия (69) следует условие (68).

и кратные корни на единичной окружности отсутствуют, то

и обратно, выполнение условия (71) влечет за собой выполнение условия (70).

или имеются кратные собственные числа матрицы Ф, принадлежащие единичной окружности, то

Таким образом, исследование устойчивости может производиться по анализу элементов матрицы при. Обычно рассматривают последовательность матриц

(эта последовательность просто формируется с помощью ЭВМ), задаются малым числом и достаточно большим числом и с помощью ЭВМ проверяют выполнение одного из условий

В первом случае соответствующая импульсная система устойчива, во втором случае она неустойчива. Возможна модификация этого алгоритма на основе привлечения ум оценки неустойчивости следов матрицы

при

, IIpи используется следующее утверждение: если существует такое k, что

где n - порядок системы, то среди собственных чисел матрицы имеется хотя бы одно

, удовлетворяющее условию

и тогда импульсная система неустойчива. Справедливость этого утверждения следует из равенства

Очевидно, что если все собственные числа матрицы удовлетворяют условию

поэтому нарушение условия (72) влечет за собой появление собственного числа, определяющего неустойчивость системы.