Переходный процесс в цепи r, L

Положим, что в момент t=0 цепь, состоящая из сопротивления r и индуктивности L, включенных последовательно, присоединяется к источнику ЭДС e(t) (рис. 13.2).

Рис 13.2 Включение цепи r, L

Дифференциальное уравнение для времени записывается в виде:

.

Характеристическое уравнение имеет вид и соответственно корень уравнения .

Отсюда свободный ток: .

Переходной ток в цепи определится суммой принужденного и свободного токов:

.

Принужденный ток может быть найден, если задана ЭДС e(t). Рассмотрим три случая:

1. включение в цепь г, L постоянной ЭДС Е;

2. короткое замыкание цепи r, L;

3. включение в цепь г, L гармонической ЭДС. e(t),

1.Включение в цепь г, L постоянной ЭДС Е;

При включении в цепь г, L постоянной ЭДС Е принужденный ток равен E/r. Поэтому согласно (13.9)

.

Постоянная интегрирования A находится по начальному условию

.

Согласно уравнению (13.10) при t=0

.

Откуда .

Следовательно, .

Здесь - предельное значение, к которому стремится ток i(t) по мере неограниченного возрастания t, называемое установившимся током.

.

Рис. 13.3 Принужденный свободный и переходный токи при включении в цепь r, L постоянной ЭДС

В начальный момент t=0 ЭДС самоиндукции

Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer

Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM. SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием. Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.

Что умеет делать SeoHammer

— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок.
— Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
— Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
— SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.

SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней.

Зарегистрироваться и Начать продвижение

,

и полностью компенсируется ЭДС источника, так как ток i(0) равен нулю.

С течением времени ЭДС самоиндукции убывает, а ток цепи возрастает, асимптотически приближаясь к установившемуся значению.

На рис. 13.3 показаны кривые принужденного, свободного и переходного токов; на этом же рисунке изображена кривая напряжения на индуктивности

.

Из курса матанализа известно, что если y=f(t), то подкасательная равна . В данном случае при любом значении t

.

Величина носит название постоянной времени. Постоянная времени измеряется в секундах:

.

Выражение (13.11) показывает, что постоянна времени графически определяется длиной к кривой или при любом значении t.

Нарастание тока происходит тем быстрее, чем меньше постоянная временили соответственно, чем быстрее убывает ЭДС самоиндукции. Для различных моментов времени ток в цели, выраженный в процентах конечного (установившегося) значения, составляет:

	63.2	86.5		98.2	99.3

Следовательно, постоянная времени цепи r, L равна промежутку времени, в течение которого свободная составляющая тока убывает в e=2, 718 раза, и соответственно ток в этой цепи, включенной на постоянное напряжение, достигает 63.2% своего установившегося значения.

Как видно из рис.. 13.3 и приведенных значений t и i/I, переходный процесс теоретически длится бесконечно долго. Практически же можно считать, что он заканчивается спустя .

2.Короткое замыкание цепи r, L.

Положим, что цепь r, L, присоединенная к источнику постоянного или переменного напряжения, замыкается при t=0 накоротко (рис.13.4, а). В образовавшемся при этом контуре r, L благодаря наличию магнитного поля индуктивной катушки ток исчезает не мгновенно: ЭДС самоиндукции обусловленная убыванием магнитного потока стремится поддержать ток в контуре за счет энергии исчезающего магнитного поля. По мере того как энергия магнитного поля постепенно рассеивается, превращаясь в сопротивлении г в тепло, ток в контуре приближается к нулю.

Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте

Попробуйте сервис онлайн-записи VisitTime на основе вашего собственного Telegram-бота:
— Разгрузит мастера, специалиста или компанию;
— Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой;
— Разошлет оповещения о новых услугах или акциях;
— Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет;
— Позволит записываться на групповые и персональные посещения;
— Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам;
— Включает в себя сервис чаевых.

Для новых пользователей первый месяц бесплатно.

Зарегистрироваться в сервисе

Процесс, происходящий в короткозамкнутом контуре r, L, является свободным; принужденный ток в данном случае равен нулю.

Положив в (13.9) имеем:

Постоянная интегрирования А находится из начального условиях

.

Откуда ;

здесь i(o-) - значение тока в индуктивности в момент непосредственно предшествовавший короткому замыканию; оно может быть положительным или отрицательным.

На рис.13.4, б изображены кривые спада тока в короткозамкнутом контуре и кривая напряжения на индуктивности

.

В предположении, что

Рис.13.4 Короткое замыкание цепи r, L. а - расчетная схема; б – кривые тока i и напряжения

Постоянная времени контура может быть найдена графически как подкасательная кривой i(t) (например, в момент t=0).

Переходный процесс в короткозамкнутом контуре заканчивается теоретически при . За это время в сопротивлений г выделяется в виде тепла энергия

т.е. вся энергия, запасенная в магнитном поле катушки до коммутации.

Так же как и в предыдущем случае, переходный процесс в короткозамкнутом контуре можно практически считать законченным спустя .

3.Включение в цепь R, L гармонической ЭДС.

При включении в цепь r, L гармонической ЭДС

принужденный ток будет:

где ;

Постоянная интегрирования определяется по начальному условию

.

Следовательно, .

Откуда .

Поэтому искомый ток будет:

На рис.13.5, а изображены i_пр , i_св, i. Начальные ординаты i_пр. (0), i_св (0) одинаковы по абсолютной величине и противоположны по знаку: поэтому ток в начальный момент равен нулю. Свободный ток убывает по показательному закону. По истечении времени t = свободный ток уменьшается в e =2.718 раза по сравнению с начальным значением i_св (0). Постоянная времени прямо пропорциональна частоте :

.

Если в момент коммутации (t =0) ток i_пр. проходит через нуль, т.е. выполняется условие , то свободный ток не возникает, и в цепи сразу наступает принужденный, установившийся режим без переходного процесса.

а) б)

Рис.13.5 Принужденный, свободный и переходный токи при включении в цепь r, L гармонической ЭДС

Если же коммутация происходит при или то начальный свободный ток максимален (рис.13-5.б), а именно и ток переходного режима достигает экстремального значения (положительного или отрицательного) в конце первого полупериода. Однако даже в предельном случае, когда r=0 и, следовательно, , ток не может превышать предельную амплитуду установившегося режима более чем вдвое.