Надежность восстанавливаемой дублированной системы

Рассмотрим систему, для обеспечения надежности которой используется дублирование: основной системе добавляется параллельно такая же система. В обеих системах (цепях) параметры потоков отказов одинаковы, l = const, такая же картина и для потока восстановлений, то есть m = const. Такая дублированная система может находиться в трех состояниях:

" 0" - обе системы (цепи) работоспособны;

" 1" - одна цепь восстанавливается, другая работоспособна;

" 2" - обе цепи восстанавливаются. С точки зрения выполнения функциональных задач, возложенных на систему, состояние " 2" соответствует отказу. У этой системы возможны семь видов перехода из состояния в момент времени t в состояние в момент времени t + D t:

Указанные переходы изображены на рис. 7.5 в виде графа переходов состояний.

Графу переходов соответствует матрица переходных вероятностей 3*3. Крайние элементы побочной диагонали матрицы имеют порядок 0(Dt), так как по исходному предположению поток отказов в системе простейший, и время восстановления распределено по экспоненциальному закону. Согласно простейшему потоку в первой строке матрицы исключается ситуация, когда за время Dt система может перейти из состояния " 0" в состояние " 2", Р₀₂(D t) = 0. Рассуждая аналогично, по третьей строке матрицы запишем Р₂₀(D t) = 0. При простейшем потоке система за время Dt может из состояния " 0" с вероятностью Р₀₁(D t) перейти в состояние " 1" или с вероятностью Р₀₀(D t) остаться в состоянии " 0". Точно такая же картина соответствует состоянию " 2". С вероятностью Р₂₁(D t) система может перейти в состояние " 1" (одна цепь восстановится) или с вероятностью Р₂₂(D t) останется пребывать в состоянии " 2" (обе цепи неработоспособны - состояние отказа). Элементы первой строки матрицы переходных вероятностей зависят от режима использования резервной цепи. Так при нагруженном резерве, работающих обеих цепях, интенсивность потока отказов равна 2 l, а при ненагруженном - l (ненагруженная цепь всегда готова к работе и своих характеристик не меняет, l= const). Поэтому

, (7.6)

где у - коэффициент, учитывающий состояние резерва (у = 0 при ненагруженном режиме и у = 1 при нагруженном). Используя разложение степенной функции в ряд, с учетом приближения суммы отброшенных членов ряда к нулю, запишем

Р₀₀(D t) = 1 - (у + 1) × l× D t. (7.7)

С учетом того, что для первой строки матрицы

Р₀₀(D t) + Р₀₁(D t) = 1,

получим

Р₀₁(D t) = 1 - Р₀₀(D t) = (у + 1) × l× D t. (7.8)

Элементы второй строки матрицы переходных вероятностей (7.5) соответственно запишутся так:

Р₁₀(D t) + Р₁₁(D t) + Р₁₂(D t) = 1;

, (7.9)

, (7.10)

. (7.11)

Элементы третьей строки анализируемой матрицы, с учетом количества ремонтных бригад и многократного восстановления отказавших цепей, соответственно определятся так:

Р₂₁(Dt) + Р₂₂(Dt) = 1;

; (7.12)

, (7.13)

где r - число ремонтных бригад (r = 1 или r = 2).

При дублировании с восстановлением возможны шесть вариантов задач анализа надежности такой системы:

1) система с нагруженным резервом до первого отказа (у = 1, r = 0);

2) система с ненагруженным резервом до первого отказа (у = 0, r = 0);

3) многократно восстанавливаемая система с нагруженным резервом и одной ремонтной бригадой (у = 1, r = 1);

4) многократно восстанавливаемая система с нагруженным резервом и двумя ремонтными бригадами (у = 1, r = 2);

5) многократно восстанавливаемая система с ненагруженным резервом и двумя ремонтными бригадами (у = 1, r = 2);

6) многократно восстанавливаемая система с ненагруженным резервом и одной ремонтной бригадой (у = 0, r = 1).

Для определения Р₀(t), Р₁(t), необходимо составить и решить систему трех дифференциальных уравнений

(7.14)

Где - постоянные коэффициенты.

Для этого на основе свойств столбцов матрицы необходимо записать выражения формул полных вероятностей Р₀(t + Dt), Р₁(t + Dt), Р₂(t + Dt), затем записать производные для выражений вероятностей нахождения системы в состояниях " 0", " 1", " 2" и свести их в систему уравнений:

(7.15)

Формулы полных вероятностей запишутся на основе матрицы (7.5) соответственно:

по первому столбцу

по второму столбцу

по третьему столбцу

Подставив в эти выражения соответствующие значения переходных вероятностей, получим систему из трех дифференциальных уравнений (7.15) с четырьмя постоянными коэффициентами l, m, r, у.

Определение искомых вероятностей пребывания системы в состояниях " 0", " 1" и " 2" в момент времени t производится при следующих начальных условиях: Р₀(t = 0) = 1; Р₁(t = 0) = 0; Р₂(t = 0) = 0, то есть система первоначально включается в работу с обоими исправными цепями. Решение системы (7.15) подробно изложено в специальной литературе, например в [13]. Искомое выражение функции готовности анализируемой системы при найденных значениях Р₀(t), Р₁(t), Р₂(t) на основе известного свойства удобнее записать в виде:

.

Анализируемая система получается высоконадежной. Даже в нерезервированной восстанавливаемой системе при , и значение этой функции быстро приближается к коэффициенту готовности. В связи со сказанным, оценку надежности ответственных систем, рассчитанных на длительный срок эксплуатации, целесообразно производить с помощью коэффициента готовности.

Используя данные [13], запишем коэффициенты готовности дублированной системы с многократным восстановлением с одной (r = 1) и двумя (r = 2) ремонтными бригадами:

На рис. 7.6 представлены графики коэффициента готовности для различных схем использования резерва и количества ремонтных бригад.

Из графика видно, что введение резервирования в восстанавливаемую систему дает существенное приращение надежности системы при относительно невысокой надежности основной цепи. К примеру, при заметен прирост надежности даже при введении второй ремонтной бригады (r = 2). Но по мере роста надежности исходных цепей эффект от введения второй бригады снижается, а при на графике уже невозможно увидеть различия значений коэффициента готовности не только при изменении количества ремонтных бригад, но и при переходе со схемы нагруженного дублирования к дублированию замещением. Так при отношение значения коэффициента готовности схемы дублированной замещением к значению коэффициента готовности схемы нагруженного дублирования, при одной ремонтной бригаде в обоих вариантах равно

.

Например, в высоковольтной электроустановке с показателями безотказности и ремонтопригодности Т = 20000 ч, t_в =100 ч (), использование схемы нагруженного дублирования повышает надежность установки до а при дублировании замещением до .

Таким образом, при относительно высоком уровне надежности исходной системы (схемы) выигрыш в надежности при переводе схемы с режима у = 1 на режим у = 0 ощутимого результата не дает. При эксплуатации, например двухтрансформаторной подстанции, когда средняя интенсивность отказов (параметр потока отказов) одной трансформаторной цепи l < 0, 2 1/год, интенсивность восстановления m > 0, 01 1/ч, () схема включения резервного трансформатора подстанции (нагруженное дублирование или дублирование замещением) должна определяться по фактическому значению потери мощности в трансформаторах, а не по уровню надежности. Как известно, потеря мощности в трансформаторе

,

где - потеря мощности в магнитной системе (в стали магнитопровода) трансформатора и от нагрузки не зависит; - потеря мощности в меди (алюминии) обмоток трансформатора и зависит от квадрата тока.

Выбирать необходимо такую схему включения трансформаторов, которая связана с меньшей потерей мощности. Если подстанция имеет в течение суток нагрузку то высокую, то низкую в четко выраженные интервалы времени, то возникает экономическая целесообразность часто изменять схему включения трансформаторов. Расчеты показывают, что в современных трансформаторах напряжением 35; 10, 5; 6, 3 кВ и мощностью до 10 тыс. кВА, при нагрузке подстанции, превышающей 0, 7 мощности одного трансформатора, экономически выгодно переходить на схему нагруженного дублирования (режим у = 1). Для обеспечения такого режима работы подстанции необходимы циклостойкие выключатели (например вакуумные), способные переключаться под рабочей нагрузкой тысячи раз [14]. Это особенно характерно для подстанций, где преобладает коммунально-бытовая нагрузка, при которой ярко выражены часы максимальной нагрузки (обычно с 7.00 до 9.00 и с 18.00 до 21.00 часа местного времени). В оставшееся время суток нагрузка многократно снижается, и тогда выгодно включать только один трансформатор (режим у = 0). В связи с этим следует отметить, что в установках, где часто меняется нагрузка в широком диапазоне особо эффективны будут тиристорные выключатели рабочих токов, у которых нет технических ограничений по количеству операций (циклов) " включить" -" отключить".

Такие высоковольтные восстанавливаемые дублированные установки, как кабельные линии и воздушные линии электропередачи должны работать по схеме нагруженного дублирования. При этом, как это было показано выше, достигается экономический эффект от снижения потери энергии, и сохраняется высокая надежность электропередачи.