Вычисление криволинейного интеграла в полярной и обобщенной полярной системе координат

Полярная система координат: Функцию F(x, y) выражаем в полярной системе координат: X=ρ cosφ, Y=ρ sinφ.Якобиан перехода – ρ, т.е. интеграл, из получившихся в результате перехода функций мы умножаем на ρ. (1).Берем интеграл от полученной функции по dρ и dφ (предварительно расставив пределы интегрирования с помощью графика функции).Обобщенная полярная система координат: Функцию F(x; y) выражаем в обобщенной полярной системе координат: X=a cosφ, Y=bρ sinφ.Якобиан перехода – abρ (определение аналогично с 1).Дальнейшие действия аналогичны с теми, что производятся при вычислении в полярной системе координат.

18. Вычисление двойного интеграла. Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)< = у2(х) на всем отрезке.D={x, y}: a< =x< =b; y1(x)< =y< =y2(x)

Отрезок [a, b] – проекция Д на ось ох. Для такой области людбая прямая, параллельная оу и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает границу области не более чем в 2 точках. Такая область наз. правильной в направлении оси оу. Если фция f(x, y) задана на Д и при каждом х Î [a, b] непрерывна на у, на отрезке, [y1(x), y2(x)], то фц-ия F(x) = , наз. интегралом, зависящим от параметра I, а интеграл: , наз повторным интегралом от ф-ции f(x, y) на области Д. Итак, повторный интеграл вычисляется путем последовательного вычисления обычных определенных интегралов сначала по одной., а затем по другой переменной.

19. Определение тройного интеграла. Рассмотрим тело, занимающее пространственную область Q. И предположим, что плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат точек тела:

δ = δ (х, у, z). Разобьем тело произвольным образом на n частей; объемы этих частей обозначим: ∆ v₁, ∆ v₂, …, ∆ v_n. Выберем затем в каждой части по произвольной точке P_i(x_i, y_i, z_i).Полагая, что в каждой частичной области плотность постоянна и равна ее значению в точке P_i, мы получим приближенное выражение для массы всего тела в виде суммы (*).

_n

M_n = ∑ δ (х_i, у_i, z_i) ∆ v_i (*)

ⁱ⁼¹

_n

M = lim ∑ δ (х_i, у_i, z_i) ∆ v_i = ∫ ∫ ∫ δ (х, у, z) dv

^{i=1 Q}

Cумма (*) называется n-й интегральной суммой, а ее предел – тройным интегралом от функции δ = δ (х, у, z) по пространственной области Q.

_n

∫ ∫ ∫ f (х, у, z) dv = lim ∑ f(x_i, y_i, z_i) ∆ v_i

^{Q i=1}

Где f(x, y, z) – произвольная непрерывная в области Q функция.

20. Свойства трехкратного интеграла. Если область V разбить на две области V₁ и V₂ плоскостью || какой-либо из координатных плоскостей, то трехкратный интеграл (1)Равен сумме трехкратных интегралов по обл. V₁ и V₂.Следствие: При любом разбиении обл. V на конечное число обл. V₁, V₂, …, V_nПлоскостями || координатным плоскостям, то будем иметь: I_v= Теорема об оценке трехкратного интегралаПусть М и m соотв. Наибольшее и наименьшее знач-е ф-и в обл. V. В этом случае справедливо: mV (2)Док-во: Запишем (1) ->

(3)Учитывая огр. m и M (4) Подставим,

Аналогично доказывается и левая часть док-ва (2)Теорема о среднем Трехкратный интеграл I_v от неприрыв. по замкнут обл. V равен произведению объема обл. на значение ф-и в нек-ой точке Р, принадлеж. V. (5)Док-во: Из (2) имеем По теореме (Больцана – Коши) Веерштрассе: Существует хотя бы одна точка , P

21. Трехмерная область V, ограниченная замкнутой поверхностью S, называется правильной, если: любая прямая, параллельная оси Оz и проведенная через внутреннюю точку области, пересекает S в двух точках; вся область V проектируется на плоскость Оху в правильную двумерную область D; любая часть области V, отсеченная от нее плоскостью, параллельной какой-либо из координатных плоскостей, обладает свойствами 1 и 2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида: Св-ва: Если область V разбить на две области V1 и V2 плоскостью, параллельной какой-либо из координатных плоскостей, то трехкратный интеграл по области V равен сумме трехкратных интегралов по областям V1 и V2. Если известны наименьшее m и наибольшее M значения непрерывной функции f(x; y; z), (x; y; z) U в области U, то тройной интеграл оценивается так:

1. (о среднем значении для тройного интеграла):

2. где M_* – некая " средняя" точка области U, f(x; y; z) – непрерывна в U. ДоказательствоИспользуем свойство: Число I/U – является промежуточным значением непрерывной функции f(x; y; z), поэтому существует точка M_*, такая, что в итоге , Тройной интеграл от функции f(x, y, z) по правильной области V равен трехкратному интегралу по той же области: . (9.3)Доказательство.Разобьем область V плоскостями, параллельными координатным плоскостям, на п правильных областей . Тогда из свойства 1 следует, что , где - трехкратный интеграл от функции f(x, y, z) по области .Используя формулу (9.2), предыдущее равенство можно переписать в виде: .Из условия непрерывности функции f(x, y, z) следует, что предел интегральной суммы, стоящей в правой части этого равенства, существует и равен тройному интегралу . Тогда, переходя к пределу при , получим: IV = , что и требовалось доказать. Замечание изменение порядка интегрирования не меняет значения трехкратного интеграла.Всякую область можно разбить на правильные подобласти

22. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах. Цилиндрические

Введем в пространстве цилиндрические координаты. Для этого на плоскости используем полярные координаты, а третья координата произвольной точки остается . Учитывая связь полярных координат с декартовыми, получим выражение декартовых координат через цилиндрические:. Тогда и тройной интеграл в цилиндрических координатах вычисляется по формуле: . Элемент объема в цилиндрической системе координат есть . Сферическими координатами точки M(x, y, z) называются три числа − ρ, φ, θ, где ρ − длина радиуса-вектора точки M; φ − угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскость Oxy и осью Ox; θ − угол отклонения радиуса-вектора от положительного направления оси Oz (рисунок 1). Обратите внимание, что определения ρ, φ в сферических и цилиндрических координатах отличаются друг от друга. Сферические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями

Якобиан перехода от декартовых координат к сферическим имеет вид:

Раскладывая определитель по второму столбцу, получаем Соответственно, абсолютное значение якобиана равно Следовательно, формула замены переменных при преобразовании декартовых координат в сферические имеет вид:

23. Приложение тройного интеграла 1) Объем ϕ (x, y, z)≡ 1; 2) Масса ϕ (x, y, z)= , M= 3)Статический момент относительно координатных плоскойтей M_yz= M_xz= ; M_xy= ; 4) Центр тяжести тела V с плотностью ϕ. X_c= , y_c= , z_c= 5) Момент инерции Y_xx=

25. Сведение криволинейного интеграла первого рода к обыкновенному. Предположим, что на кривой (К) произвольно установлено направление (одно из двух возможных), так что положение точки М на кривой может быть определено Длиной дуги s= , отсчитываемой от начальной точки А. Тогда кривая (К) параметрически выразится уравнениями вида: x=x(s), y=y(s), (0≤ s ≤ S), а функция f(x, y) заданная в точках кривой, сведется к сложной функции f(x(s), y(s)) от переменной s.Если через s_i(i=0, 1, ……, n) обозначить значения дуги, отвечающие выбранным на дуге АВ точкам деления А_i, то очевидно σ _i= s_i+1 - s_i=∆ s_i. Обозначив через _i значения s, определяющие точки М_i (причем очевидно, s_i ≤ _i ≤ s_i), видим что интегральная сумма для криволинейного интеграла _i)σ _i = _i), y( _i))∆ s_i является в то же время интегральной суммой для обыкновенного определенного интеграла, так что сразу имеем: Причем существование одного из интегралов влечет за собой существование другого.

Интеграл, очевидно, существует, например в случае непрерывности функции f(M), что мы будем впредь предполагать Пусть теперь кривая (К) задана произвольными параметрическими уравнениями

Где функции φ и ψ непрерывны со своими производными и ; предположим, сверх того, что кратных точек на кривой нет. Тогда кривая заведомо спрямляема, и если возрастание дуги s= =s(t) отвечает возрастанию параметра t, то Заменяя переменную в интеграле (3) справа, получим Таким образом для вычисления криволинейного интеграла первого типа надлежит заменить в под интегральной функции переменные x и y выражениями координат через параметр, а множитель ds-дифференциалом дуги как функции параметра.В случае кривой заданным явным уравнением: y=y(x) (a ≤ x ≤ b); формула (4) примет вид