Основные свойства двойных интегралов.

1. Двойной интеграл по области D = площади этой области.

2. Если область G содержится в D, а ф-ция ограничена и интегрируема в D, то она интегрируема и в G.

3. Аддитивное св-во. Если область D при помощи кривой L разбивают на 2 области D 1 и D 2, не имеющих общих внутренних точек, то:

4. Константы выносятся за знак интеграла, а сумму в ф-ции можно представить в виде суммы интегралов:

5. Если ф-ции f и g интегрируемы в D, то их произведение также интегрируемо в D. Если g(x, y) ¹ 0 то и f/g интегрируема в D.

6. Если f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в D и всюду в этой области f(x, y) < = g(x, y), то:

В частности: g(x, y) > =0 то и

7. Оценка абсолютной величины интеграла: если f(x, y) интегрируема в D, то и |f(x, y)| интегрир. в D причем

обратное утверждение неверно, из интегрируемости |f| не следует интегрируемость f.

16. повторные интегралы Правильная область.Опр1. Пусть в обрасти G лежащей в плоскостях Оу яв-ся правильной в направлении оси Оу это значит,

что всякая прямая и проходящая через эту точку пересекает границу этой области в 2х точках. х є [a, b] (x) ≥ (x) Неправильная область аналогичным образом определим правильную опласть в направлении ося Ох. Если область правильная в Ох о Оу, то пространство правильное.

Всякую область всегда можно представить в виде суммы правильных областей в виде по оси Ох либо по Оу. I(по области G) (1) (интегрируется по у считаем что х Константа)I(x)= ; I(по G)= Свойства: 1) если правильную область G разбить на 2 области и прямой то интеграл (1) равен сумме таких же интегралов по областям G1 и G2. = + (2)Док-ва Проведем прямую которая пересечет плоскость в точке. С формулой 2. (по области G) = (по свойству одномерных интегралов) С= Следствие1Если область Gразбить прямыми параллельными осями координат на любое число про областей G1иG2, Gn будет равняться повторный интеграл семе интегралов по соответствующ. Области (4) по области G= (4) Свойство2

повторн интеграл оценка двукратного интеграла пусть m и M соответственно наименьшим и наибольшим и наибольшем значением функции f от f(x, y) и S это площадь области G.Тогда справедлива след оценка m по области G (5) учитывая формулы 1 и 2 след: I= =m Площадь области G G G

16. Замена переменных в двойном интеграле. Пусть непрерыв­но дифференцируемые функции х = х{и₎ v),

— якобиан отображения Dx на D.

у = у{и₎ и) взаимно одно­значно отображают область D_x плоскости и₎ v на область D плоско­сти х₎ у₎ а функция f{x₎ у) непрерывна в D. Тогда