Частные производные функции нескольких переменных и их геометрическая интерпретация.

Частные производные первого порядка. Пусть функция определена в области и . Тогда при малых определено ее частное приращение по : . Определение. Частной производной функции по переменной в точке называют предел , если он существует. Частную производную по обозначают одним из следующих символов: .Аналогично определяется частная производная по и вводятся ее обозначения. Легко видеть, что частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Поэтому частные производные вычисляются по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной. Пример. Найти частные производные функции . Имеем: . Частные производные высших порядков. Рассматривая частные производные и как функции от , приходим к понятиям частных производных второго порядка. А именно, выражения , называют частными производными второго порядка функции по и по соответственно, а выражения

, – смешанными частными производными второго порядка функции . Их обозначают также символами: , , и . Аналогично определяют частные производные 3-го порядка (их будет 8=2³ ), 4-го порядка (их будет 16=2⁴ ) и т.д. Теорема 4. Если в некоторой окрестности точки функция имеет смешанные частные производные и , причем эти производные непрерывны в точке , то они равны в этой точке: = . Если последнее равенство выполняется, то говорят, что смешанные частные производные 2-го порядка функции не зависят от порядка дифференцирования в точке .Теорема 4 допускает обобщение: по индукции ее можно распространить на любые непрерывные смешанные частные производные.

Геом интерпретация: Геометрический смысл ЧП-ой состоит в следующем: значение ЧП-ой по переменной «х» = тангенсу угла наклона на касательной проведённой к кривой получаемой пересечением поверхностей Z=f(x, y) и плоскости у=у0.Анологично опр-ся геометрический смысл ЧП-ой по переменной «у». Значение ЧП-ой по переменной «у» = тангенсу угла наклона касательной проведённой к кривой к-рая получается при пересечении поверхности с плоскостью х=х0